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2014年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)
数学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1.若集合P?{x|2≤x＜4},Q?{x≥3},则PQ等于 （ ）A.{x|3≤x＜4} B.{x|3＜x＜4} C.{x|2≤x＜3} D.{x|2≤x≤3}
2.复数(3?2i)i等于
（ ）A.?2?3i
B.?2?3i C.2?3i D.2?3i
3.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于
（ ）A.2π
B.π
C.2
D.1
4.阅读下图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的n的值为
（ ） A.1
B.2
C.3
D.4
数学试卷 第1页（共12页）
5.命题“?x?[0,??),x3?x≥0”的否定是 （ ）
A.?x?(??,0),x3?x＜0 B.?x?(??,0),x3?x≥0
C.?x30?[0,??),x0?x0＜0 D.?x[0,??),x30?0?x0≥0 6.已知直线l过圆x2?(y?3)2?4的圆心,且与直线x?y?1?0垂直,则l的方程是（ ） A.x?y?2?0 B.x?y?2?0 C.x?y?3?0
D.x?y?3?0
7.将函数y?sinx的图象向左平移π2个单位,得到函数y?f(x)的图象,则下列说法正确
的是
（ ）
A.y?f(x)是奇函数 B.y?f(x)的周期为π C.y?f(x)的图象关于直线x?π2对称 D.y?f(x)的图象关于点(?π2,0)对称
8.若函数y?logax(a＞0,且a?1)的图象如下图所示,则下列函数图象正确的是
（ ）
A.
B.
C.
D.
数学试卷 第2页（共12页）
9.要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是
（ ）
A.80元 B.120元 C.160元
D.240元
10.设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则OA?OB?OC?OD等于
（ ）
A.OM B.2OM C.3OM
D.4OM
?11.已知圆C：(x?a)2?(y?b)2?1,平面区域?：?x?y?7≤0,?x?y?3≥0,若圆心C??,且圆C与
??y≥0,x轴相切,则a2?b2的最大值为
（ ）
A.5
B.29 C.37
D.49
12.在平面直角坐标系中,两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的“L-距离”定义为||PP12||?|x1?x2|?|y1?y2|,则平面内与x轴上两个不同的定点F1,F2的“L-距离”之和等于定值（大于||F1F2||）的点的轨迹可以是
（ ）
A.
B.
C.
D.
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第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上. 13.如图,在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为________.
14.在△ABC中,A?60,AC?2,BC?3,则AB等于________.
15.函数f(x)???x2?2,x≤0,?2x?6?lnx,x＞0,的零点个数是________.
16.已知集合{a,b,c}?{0,1,2},且下列三个关系：?a?2；?b?2；?c?0有且只有一个正确,则100a?10b?c等于________.
三、解答题：本大题共6小题,共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）
在等比数列{an}中,a2?3,a5?81. （Ⅰ）求an；
（Ⅱ）设bn?log3an,求数列{bn}的前n项和Sn.
18.（本小题满分12分）
已知函数f(x)?2cosx(sinx?cosx). （Ⅰ）求f(5π4)的值； （Ⅱ）求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.
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19.（本小题满分12分）
如图,三棱锥A?BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD. （Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；
（Ⅱ）若AB?BD?CD?1,M为AD中点,求三棱锥A?MBC的体积.
20.（本小题满分12分）
根据世行2013年新标准,人均GDP低于1 035美元为低收入国家；人均GDP为1 035～ 4 085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4 085～12 616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12 616美元为高收入国家.某城市有5个行政区,各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表： 行政区 区人口占城市人口比例 区人均GDP（单位:美元） A 25% 8 000 B 30% 4 000 C 15% 6 000 D 10% 3 000 E 20% 10 000 （Ⅰ）判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；
（Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个,求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率.
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21.（本小题满分12分）
已知曲线?上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y??3的距离小2. （Ⅰ）求曲线?的方程；
（Ⅱ）曲线?在点P处的切线l与x轴交于点A,直线y?3分别与直线l及y轴交于点
M,N.以MN为直径作圆C,过点A作圆C的切线,切点为B.试探究:当点P在曲
线?上运动（点P与原点不重合）时,线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论.
22.（本小题满分14分）
已知函数f(x)?ex?ax（a为常数）的图象与y轴交于点A,曲线y?f(x)在点A处的切线斜率为?1.
（Ⅰ）求a的值及函数f(x)的极值； （Ⅱ）证明：当x＞0时,x2＜ex；
（Ⅲ）证明：对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x?(x0,??)时,恒有x＜cex.
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2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷） （文科数学）答案解析 第Ⅰ卷 一、选择题 1.【答案】A 【解析】PQ?{x|3?x?4}，故选A. 2.【答案】B 【解析】(3+2i)i=3i+2i2=-2+3i，故选B. 3.【答案】A 【解析】根据题意，可得圆柱侧面展开图为矩形，长2π?1?2π，宽1，∴S?2π?1?2π，故选A. 4.【答案】B 【解析】第一次循环n?1，判断21?12成立，则n?1?1?2；第二次循环，判断22?22不成立，则输出n?2，故选B. 5.【答案】C 【解析】全称命题的否定是特称命题，故该命题的否定是?x30?[0,??)，x0?x0?0，故选C. 6.【答案】D 【解析】直线过圆心(0,3)，与直线x?y?1?0垂直，故其斜率k?1.所以直线的方程为y?3?1?(x?0)，即x?y?3?0，故选D. 7.【答案】D 【解析】y?sinx的图象向左平移π2个单位，得y?f(x)=sin??π??x?2??=cos x的图象，所以f(x)是偶函数，A不正确；f(x)的周期为2π，B不正确；f?x?的图象关于直线x?kπ(k?Z)对称，C不正确；f(x)的图象关于点??π??kπ?2,0??(k?Z)对称，当k??1时，数学试卷 第7页（共12页）
点为????π2,0???，故选D. 8.【答案】B x【解析】由题中图象可知loga3?1，所以a?3.A选项，y?3?x???1??3??为指数函数，在R上单调递减，故A不正确..B选项，y?x3为幂函数，图象正确.C选项，y?(?x)3??x3，其图象和B选项中y?x3的图象关于x轴对称，故C不正确.D选项，y?log3(?x)，其图象与y?log3x的图象关于y轴对称，故D选项不正确，故选B. 9.【答案】C 【解析】设容器的底长x米，宽y米，则xy?4.所以y?4x，则总造价为： f(x)?20xy?2(x?y)?1?10?80?80?4?x?20x?20??x?x???80，x?(0,??). 所以f(x)?20?2x4x+80?160，当且仅当x?4x，即x＝2时，等号成立， 所以最低总造价是160元，故选C. 10.【答案】D 【解析】因为M是AC和BD的中点，由平行四边形法则，得OA?OC?2OM，OB?OD?2OM，所以OA?OB?OC?OD?4OM，故选D. 11.【答案】C 【解析】由题意，画出可行域?，圆心C??，且圆C与x轴相切，所以b?1，所以圆心在直线y?1上，求得与直线x?y?3?0，x?y?7?0的两交点坐标分别为A(?2,1)，B(6,1)，所以a?[?2,6].所以a2?b2?a2?1?[1,37]，所以a2?b2的最大值为37，故选C. 12.【答案】A 【解析】不妨设F1(?a,0)，F2(a,0)，其中a?0，点P(x,y)是其轨迹上的点， P到F1，F2的“L?距离”之和等于定值b（大于||F1F2||)，所以|x?a|?|y|?|x?a|?|y|?b， 即|x?a|?|x?a|?2|y|?b.当x??a，y?0时，上式可化为y?x?b2；
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当?a?x?a，y?0时，上式可化为y=b2?a；当x?a，y?0时，上式可化为x+y=b2； 当x??a，y?0时，上式可化为x+y??b2；当?a?x?a，y?0时，上式可化为y?a?b2； 当x?a，y?0时，上式可化为x?y=b2，故选A. 第Ⅱ卷 二、填空题 13.【答案】0.18 【解析】由几何概型可知1801000?S阴影S?S阴影，所以S阴影＝0.18.故答案为0.18. 正方形114.【答案】1 cosA?b2【解析】由余弦定理可知：?c2?a24?c2?312bc?2?2c?2，所以c?1，故答案为1. 15.【答案】2 【解析】当x?0时，令f(x)?x2?2?0，得x??2，∴x??2.当x?0时，f(x)?2x?6?lnx，f?(x)?2+1x?0.所以f(x)单调递增，当x?0时，f(x)?0；当x???时，f(x)?0，所以f(x)在(0,??)上有一个零点.综上可知共有两个零点.故答案为2. 16.【答案】201 【解析】由题意可知三个关系只有一个正确分为三种情况： （Ⅰ）当①成立时，则a?2，b?2，c?0，此种情况不成立； （Ⅱ）当②成立时，则a?2，b?2，c?0，此种情况不成立； （Ⅲ）当③成立时，则a?2，b?2，c?0，即a?2，b?0，c?1， 所以100a?10b?c?100?2?10?0?1?201. 三、解答题 17.【答案】（Ⅰ）设{a?a1q?3?1n}的公比为q，依题意得???a1??81a?3n?1?a4，解得?1q?q?3，因此n. （Ⅱ）因为b，所以数列{bn(b?b)n2?nn?log3an?n?1n}的前n项和S1nn?2?2.
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2014年高考文科数学福建卷及答案解析
