15．设Tn为数列{an}的前n项之积，即Tn=a1a2a3…an
，当Tn=11时，n的值为 10 ．
【考点】数列的求和． 【分析】由题意可得数列{
}是以
为首项，以1为公差的等差数列，
﹣
1an
，若
求其通项公式，可得数列{an}的通项公式，再由累积法求得Tn，则答案可求． 【解答】解：由可得数列{则∴
，
，
}是以
，
，
为首项，以1为公差的等差数列，
则Tn=a1a2a3…an﹣1an=由Tn=n+1=11，得n=10． 故答案为：10．
16．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线交抛物线C于A，B两点，以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线切于积为
，则抛物线C的方程为 y2=4x ．
，且△AOB的面
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】求出直线AB的方程，利用△AOB的面积为可求出抛物线C的方程．
【解答】解：令A（x1，y1）B（x2，y2）， 由已知以AB为直径的圆相切于
，∴y1+y2=6，
，建立方程求出p，即
A，B代入抛物线方程，作差可得kAB=， 设直线AB的方程为y=（x﹣），
与抛物线方程联立可得y2﹣6y﹣p2=0，∴y1y2=﹣p2， ∵△AOB的面积为∴∴p
|y1﹣y2|==4
， ，
，∴p=2，
∴抛物线C的方程为y2=4x， 故答案为：y2=4x．
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在△ABC中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，A，B，C都不是直角，且accosB+bccosA=a2﹣b2+8cosA （Ⅰ）若sinB=2sinC，求b，c的值； （Ⅱ）若
，求△ABC面积的最大值．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理化简可得2bccosA=8cosA，由于cosA≠0，可求bc=4，由正弦定理化简已知可得b=2c，联立可求b，c的值． （Ⅱ）由余弦定理，基本不等式可求形面积公式即可解得得解其最大值． 【解答】（本题满分为12分） 解：（Ⅰ）∵
∴b2+c2﹣a2=8cosA，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴2bccosA=8cosA， ∵cosA≠0，
∴bc=4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 由正弦定理得：b=2c，
，
，进而可求
，利用三角
∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）a2=b2+c2﹣2bccosA≥2bc﹣2bccosA， 即6≥8﹣8cosA， ∴∴∴∴
所以面积最大值为
18．为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析．下面是该生7次考试的成绩． 数学 物理 108 74 103 71 137 88 112 76 128 84 120 81 132 86 ，当且仅当b=c时取等号，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ，
， ，
﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅰ）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的说明；
（Ⅱ）已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，求物理成绩y与数学成绩x的回归直线方程
（Ⅲ）若该生的物理成绩达到90分，请你估计他的数学成绩大约是多少？
（附： =， =﹣）
【考点】线性回归方程；极差、方差与标准差．
【分析】（Ⅰ）做出物理和数学成绩的平均数，进而做出两门成绩的方差，把两个方差进行比较，得到物理的方差小于数学的方差，所以物理成绩更稳定． （Ⅱ）根据上一问做出的平均数，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，把样本中心点代入求出a的值，写出线性回归方程； （Ⅲ）把所给的物理的成绩代入预报出数学的成绩．
【解答】解：（Ⅰ） =120， =80， ∴数学的方差是=142，
物理的方差是（36+81+64+16+16+1+36）=
，
从而物理的方差小于数学的方差，所以物理成绩更稳定． （Ⅱ）由于x与y之间具有线性相关关系， ∴=
=0.5， =100﹣0.5×100=50
∴线性回归方程为y=0.5x+50 （Ⅲ）当y=90时，x=80
即该生物理是90分时，数学成绩是80．
19．如图所示三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，AC⊥CD．
（Ⅰ）若AA1=AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD； （Ⅱ）若A1D与BB1所成角的余弦值为
，求二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）由AA1=AC，根据线面垂直的判定定理即可证明AC1⊥平面A1B1CD．
（Ⅱ）建立以C为坐标原点，CD，CB，CC1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）若AA1=AC，则四边形ACC1A1为正方形，则AC1⊥A1C， ∵AD=2CD，AC⊥CD，∴△ACD为直角三角形，则AC⊥CD， ∵AA1⊥平面ABC，∴CD⊥平面ACC1A1，则CD⊥A1C， ∵A1C∩CD=C，∴AC1⊥平面A1B1CD；
解：（Ⅱ）∵AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，AC⊥CD． ∴建立以C为坐标原点，CD，CB，CC1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，如
图，
设CD=1，则AD=2，AC=
，
，∴，∴AA1=
=，
），A1（1，2，
），
∵A1D与BB1所成角的余弦值为又
，解得A1D=
，
则C（0，0，0），D（1，0，0），A（0，
=（0，﹣2，﹣
），
，0），C1（0，0，
），
=（﹣1，﹣2，﹣=（﹣1，﹣2，0），
设平面A1DC的法向量=（x，y，z）， 则
，取x=
，得=（
，
，﹣2），
设平面A1DC1的法向量=（a，b，c）， 则
，取a=2
，得=（2
，﹣
，﹣4），
设二面角C﹣A1D﹣C1的平面角为θ， 则cosθ=
=
=
．
∴二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值为
．
20．已知两点
．
，动点P在y轴上的投影是Q，且
2017年黑龙江省哈尔滨六中高考数学一模试卷理科 含解析 精品
