课时跟踪检测(十四) 极坐标与参数方程
1．(2019·唐山模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?x＝tcos φ，?(t为参数)，在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系?y＝tsin φ
中，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋2sin θ.
(1)求C1的极坐标方程与C2的直角坐标方程；
7π?π?
(2)设点P的极坐标为?22，4?，φ＝4，C1与C2相交于A，B两点，求△
??PAB的面积．
解：(1)曲线C1表示过原点，且倾斜角为φ的直线，从而其极坐标方程为θ＝φ，ρ∈R.由ρ＝4cos θ＋2sin θ得ρ2＝4ρcos θ＋2ρsin θ，得x2＋y2＝4x＋2y，即曲线C2的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
ππ
(2)由(1)知曲线C1为θ＝4，ρ∈R，将θ＝4代入曲线C2的极坐标方程ρ＝4cos θ＋2sin θ得ρ＝32.
故|AB|＝32.
7π??
因为点P的极坐标为?22，4?，所以点P到直线AB的距离为22.
??1
所以S△PAB＝2×32×22＝6.
2．(2019·成都模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为1x＝2t，???3??y＝2t－1
(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且与
直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是ρ＝22?π?sin?4＋θ?. ??
(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
(2)设点P(0，－1)，若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值． 解：(1)将直线l的参数方程消去参数t并化简， 得直线l的普通方程为3x－y－1＝0.
曲线C的极坐标方程可化为 ?2?2
ρ2＝22ρ?sin θ＋cos θ?，
2?2?
即ρ2＝2ρsin θ＋2ρcos θ，∴x2＋y2＝2y＋2x， 故曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(2)由直线l得点P(0，－1)在直线l上，将直线l的参数方程代入(x－1)2＋(y－1)2＝2中，
??1??3
得?2t－1?2＋?t－2?2＝2， ???2?化简，得t2－(1＋23)t＋3＝0.
∵Δ＞0，∴此方程的两根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2. 由根与系数的关系，得t1＋t2＝23＋1，t1t2＝3，故t1，t2同正．
由直线的参数方程中参数的几何意义，知|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝23＋1.
?x＝tcos α，3．(2019·德州模拟)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?
?y＝1＋tsin α
(t为参数，α∈[0，π))．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝2ρcos θ＋3.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝22.求直线l的方程． ?x＝tcos α，
解：(1)由?消去参数t，得直线l的普通方程为xsin α－ycos α
?y＝1＋tsin α＋cos α＝0(α∈[0，π))，
由ρ2＝2ρcos θ＋3得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－3＝0. (2)由x2＋y2－2x－3＝0得(x－1)2＋y2＝4，则圆心为(1,0)，半径为2， 圆心到直线的距离为d＝
|sin α＋cos α|
＝|sin α＋cos α| 22
sinα＋cosα
∴|AB|＝24－d2，即2＝4－?sin α＋cos α?2，整理得 π
sin 2α＝1，∵α∈[0，π)，∴2α∈[0,2π)，∴2α＝2，
π∴α＝4，
∴直线l的方程为x－y＋1＝0.
?x＝2＋t，
4．在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为?(t为参数)，直
y＝kt?x＝－2＋m，??
线l2的参数方程为?m
y＝k??时，P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．
解：(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去参数m得l2的普通1
方程l2：y＝k(x＋2)，
y＝k?x－2?，??
设P(x，y)，由题设得?1
y＝?x＋2?.??k消去k得x2－y2＝4(y≠0)．
所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．
(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)． ?ρ2?cos2θ－sin2θ?＝4，
联立?
ρ?cos θ＋sin θ?－2＝0，?得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)． 1故tan θ＝－3. 91
从而cos2θ＝10，sin2θ＝10， 代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5， 所以交点M的极径为5.
?x＝2t，
5．(2019·湛江模拟)在直角坐标系xOy中，点M(0,1)，直线l：?(t
?y＝1＋t
(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化
2020高考数学(文科)二轮专题精讲《极坐标与参数方程》
