典型例题一
例 用因式分解法解下列方程： (1)y2＋7y＋6＝0； (2)t(2t－1)＝3(2t－1)； (3)(2x－1)(x－1)＝1． 解：（1）方程可变形为(y＋1)(y＋6)＝0 y＋1＝0或y＋6＝0 ∴y1＝－1，y2＝－6
(2)方程可变形为t(2t－1)－3(2t－1)＝0 (2t－1)(t－3)＝0，2t－1＝0或t－3＝0 ∴t1＝，t2＝3．
(3)方程可变形为2x2－3x＝0 x(2x－3)＝0，x＝0或2x－3＝0 ∴x1＝0，x2＝
说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．
(2)应用因式分解法解形如(x－a)(x－b)＝c的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x－e)(x－f)＝0的形式，这时才有x1＝e，x2＝f，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：
原方程变形为：2x－1＝1或x－1＝1．∴x1＝1，x2＝2．
(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t－1)，请同学们思考
典型例题二
例 用因式分解法解下列方程
32126x2?33x?22x?6 解：把方程左边因式分解为：
(2x?3)(3x?2)?0 ∴2x?3?0或3x?2?0 ∴ x1??32,x2? 23说明: 对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形式，
均可用因式分解法求出方程的解。
典型例题三
例 用因式分解法解下列方程。
2y2?y?15
解: 移项得：2y2?y?15?0 把方程左边因式分解 得：(2y?5)(y?3)?0 ∴2y?5?0或y?3?0
5∴y1??,y2?3.
2说明: 在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意，把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式都为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。
典型例题四
例 用因式分解法解下列方程
（1）6x2?13x?2?0；
（2）3(2x?1)2?9(3x?2)2?0；
分析：一元二次方程化为一般形式后，在一般情况下，左边是一个二次三项式，右边是零.二次三项式，通常用因式分解的方法，可以分解成两个一次因式的积，从而可求出方程的根.但有些问题，可直接用因式分解法求解，例如（2）符合平方差公式的结构特征.
解：（1）原方程可变形为
(6x?1)(x?2)?0, 6x?1?0或x?2?0，
1∴x1?,x2?2.
6（2）原方程可化为
(23x?3)2?(33x?6)2?0，
即 (23x?3?33x?6)(23x?3?33x?6)?0， ∴(53x?3?6)(3?6?3x)?0， ∴53x?3?6?0或3?6?3x?0，
∴x1?23?1,x2?1?23. 5说明：因式分解将二次方程化为一次方程求解，起到了降次的作用.这种化未知为已知的解题思想，是数学中的“化归思想”.事实上，将多元方程组化为一元方程，也是此法.
典型例题五
例 用因式分解法解方程：
（1）x2?5x?36?0； （2）2(2x?3)2?3(2x?3)?0； （3）x2?(2?22)x?3?22?0； （4）y2?(23?32)x?66?0.
分析：用因式分解法解一元二次方程时，应将方程化为A?B?0的形式，然后通过A?0或B?0，求出x1,x2.
解：（1）(x?9)(x?4)?0，
x?9?0或x?4?0.
?x1?9,x2??4.
（2）(2x?3)(4x?6?3)?0， 即 (2x?3)(4x?9)?0. ∴2x?3?0或4x?9?0，
39∴x1?,x2?.
24（3）(x?1)x?(3?22)?0， 即 x?1?0或x?(3?22)?0. ∴x1??1,x2?3?22. （4）(y?23)(y?32)?0， 即 y?23?0或y?32?0， ∴y1?23,y2?32.
??
说明：有些系数或常数是无理数的一元二次方程，只要熟悉无理数的分解方法，也可将之和因式分解法求解.
典型例题六
例 用适当方法解下列方程：
1（1）2x2?5?0； （2）5x2?2?2(1?x)?x(x?)；
2（3）2(x?3)2?2(x2?1)?4x?1； （4）x2?43x?10?0 （5）3x2?7x?4?0（用配方法） 解：（1）移项，得
2x2?5，
方程两边都除以2，得
x2?5， 2解这个方程，得
x??x??5， 2110， 2即
x1?1110，x2??10. 22（2）展开，整理，得
4x2?x?0.
方程可变形为
x(4x?1)?0
或4x?1?0，
1 ∴ x1?0,x2??.
4（3）展开，整理，得
4x2?16x?15?0，
x?0
方程可变形为
(2x?3)(2x?5)?0 2x?3?0或2x?5?0
35∴ x1?,x2?.
22（4）∵ a?1,b??43,c?10,
b2?4ac?(?43)2?4?1?10?8?0，
∴ x??(?43)?843?22??23?2.
2?12∴ x1?23?2, x2?23?2 （5）移项，得
3x2?7x?4，
方程各项都除以3，得
x2?74x??. 33配方，得
x2?7747x?(?)2???(?)2， 363671(x?)2?
636x?71??, 66解这个方程，得
即
4，x2?1. 3 说明:当一元二次方程本身特征不明显时，需先将方程化为一般形式
x1?ax2?bx?c?0(a?0)，若b?0，a、c异号时，可用直接开平方法求解，如（l）
题．若a?0，b?0,c?0 时，可用因式分解法求解，如（2）题．若a、b、c均不为零，有的可用因式分解法求解，如（3）题；有的可用公式法求解，如（4）题．配方法做为一种重要的数学方法也应掌握，如（5）题．
而有些一元二次方程有较明显特征时，不一定都要化成一般形式，如方程
(x?3)2?4?0可用直接开平方法或因式分解法求解．又如方程
(x?2)(4x?1)?(x?1)(x?2)也不必展开整理成一般形式，因为方程两边都有，移
项后提取公因式，得(x?2)[(4x?1)?(x?1)]?0，用因式分解法求解，得
2，对于这样的方程，一定注意不能把方程两边都除以(x?2)，这3会丢掉一个根x?2．也就是方程两边不能除以含有未知数的整式． x1?2,x2??
因式分解法解一元二次方程典型例题
