第6讲 分式在程
趣题引路】
有道分式方程请你解： 1x20081x1x21x2x3x20071x20082.你若注意到从第二项开始每项5都可以拆成两项之差，问题就豁然开朗了：
原方程可化为即
1x2008111x21x3x1x21x20071x20082. 51x12，得x533，经检验为原方程的根，看来分式方程（组）中还有很多奥妙无穷的知识啊！ 22本讲我们将介绍分式方程（组）的解法及其应用。
知识拓屋】
分母里含有未知数的方程叫做分式方程.解分式方程组的基本思想是：化为整式方程.通常有两种做法： 是去分母；二是换元。 解分式方程一定要验根.
解分式方程组时整体代换的思想体现得很充分。常见的思路有：取倒数法方程迭加法，换元法等。 列分式方程解应用题，关键是找到相等关系列出方程.如果方程中含有字母表示的已知数，需根据题意变换条件，实现转化。设未知数而不求解是常见的技巧之一。
一、分式方程（组）的解法举例 1.拆项重组解分式方程 例1 解方程
x5x7x2x4x3x5x4 x6解析 直接去分母太繁琐，左右两边分别通分仍有很复杂的分子。考虑将每一项分拆：如
x5x7x722，这样可降低计算难度. 1x7x72x72x62x51
解 原方程可化为1即
2x412x512x6
2x72x42x52x7左右交换一项：
2x62x4
去分母整理得x210x24x212x35. 故x1111，经检验x为原方程的解. 22点评 本题中用到两个技巧：一是将分式拆成整式加另一个分式；二是交换了项，避免通分后分子出现x，这样大大降低了运算量，本讲趣题引路中的问题也属于这种思路.
()
2.用换元法解分式方程 例2 解方程
x2111x8x212x8x210.
13x81y1y15x解析 若考虑去分母，运算量过大；分拆也不行，但各分母都是二次三项式，试一试换元法。 解 令之x22x8即1y9x1yy，原方程可化为
1y9x0
1
15xy解这个关于y的分式方程得 当分式方程的结构较复杂且有 y9x或y5x
1.
故当y9x时，x22x89x，解得x18或x2当y5x时，，x22x85x，解得x38或x41.
经检验，上述四解均为原方程的解.
点评 当分式方程的结果较复杂且有相同或相近部分时，可通过换元将之简化. 3.形如.x形如x1x1xaa1结构的分式方程的解法 a1的分式方程的解是：x1aa,x21151，例如x??，变形为xaxx221，则2x12,x21. 2x110.
x253x25例3 解方程
x1
解析 方程左边两项的乘积为1，可考虑化为上述类型的问题求解.
x25解 原方程可化为
x1x25故
x1x253①或
x1x11 3x2531② 3x140，方程无解.
由①得x11,x2经检验x11,x2
2，由②得3x22均为原方程的解.
4.运用整体代换解分式方程组 ()
?4x2?y?2?1?4x2??4y例4 解方程组??z 2?1?4y?4z2??x??1?4z2解析 若用常规思路设法消元，难度极大。注意到每一方程左边分子均为单项式，为什么不试一试倒过来考虑呢？
解 显然x=y=z=0是该方程组的一组解. ?11??2y?1?0?4x?11若x、y、x均不为0，取倒数得?2??1?0
z?4y?11?2??1?0x?4z三式相加，分组配方得： (111?1)2?(?1)2?(?1)2?0 2x2y2z111?1?0且?1?0且?1?0 2y2x2z故
11，经检验，x＝y＝z＝0及x＝y＝z＝均为原方程组的解. 2211111点评：这里我们撇开x、y、z，而将、、视为三个“整体未知量”，三式相加，获得、
yyxzx故x＝y＝z＝
、
1的特殊信息，从而求解. z
二、含字母系数分式方程根的讨论
a2?2xa2?2x2(1?a4)例5 解关于x的方程： ??2x?11?2x1?4x2解析 去分母化简为含字母系数的一次方程，须分类讨论. 解 方程两边同乘以(2x＋1)(1－2x)去分母整理得 2（1－a2）x＝1－a4 讨论：（1）当
1－a2≠0，即
1?a41?a21?a2
a≠±1时，x＝＝，把x＝代人最简公分母1－4x2
22(1?a)22
得1－4x2＝－a2（2＋a2）；
①当a≠0
时，1－4x2≠0，原方程解为
1?a2x＝；
21②当a＝0时，1－4x2＝0，此时x＝±是增根.
2 ()
（2）当1－a2＝0即a＝±1时，原方程化为0x＝0，x可为除1?a2综上，当a≠±1且a≠0时，原方程的解为x?；
211和?以外的任意数； 22当a＝0时，方程无解； 当a＝±1时，原方程的解为除
三、列分式方程解应用题
例6 某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼（扶梯行驶，两人也走梯）.如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍.已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部.
（1）扶梯露在外面的部分有多少级？
（2）现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两个孩子各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼（不考虑扶梯与楼梯间的距离）.求男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶？
解析 题中有两个等量关系，男孩走27级的时间等于扶梯走了S－27级的时间；女孩走18级的时间等于扶梯走S－18级的时间.
解 （1）设女孩上梯速度为x级/分，自动扶梯的速度为y级/分，扶梯露在外面的部分有S级，则?27S?27?2x?y?男孩上梯的速度为2x级/分，且有?. 18S?18???y?x11和?以外的任意数. 22两个方程两边分别相除，得
27S?27 =36S?18解得 S＝54.
所以扶梯露在外面的部分有54级.
（2）设男孩第一次追上女孩时走过自动扶梯m遍，走过楼梯n遍，则女孩走过自动扶梯（m－1）遍、走过楼梯（n－1）遍.
由于两人所走的时间相等 所以有
54m54n54(m?1)54(n?1) ???y?2x2xy?xx由（1）中可求得即 y＝2x. 代人上面方程得
2754?27 ?2xy ()
mnm?1n?1 ???4x2x3xx化简得 6n＋m＝16.
无论男孩第一次追上女孩是在自动扶梯还是在下楼时，m、n中都一定有一个是正整数，且0≤m－n≤1.
1试验知只有m＝3，n＝2是符合要求.
6所以男孩第一次追上女孩时走的级数为
13×27＋2×54＝198（级）.
6点评：本题求解时设的未知数x、y，只设不求，这种方法在解复杂的应用题时常用来帮助分析数量关系，便于解题.
例7 （2001年江苏省初中数学竟赛C卷）编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A和B中.15号弹珠在篮子A中，把这个弹珠从篮子A移至篮子B中，这时篮子A中的弹珠号码数的平均数等于原平均数加
11，篮子B中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加.问原来在篮子A中有多少个弹珠？ 44解析 本题涉及A中原有弹珠，A、B中号码数的平均数，故引入三个未知数.
解 设原来篮子A中有弹珠x个，则篮子B中有弹珠（25－x）个.又记原来A中弹珠号码数的平均数为a，B中弹珠号码数的平均数为b.则由题意得
??ax?(25?x)b?1?2?…+25?325?1?ax?15?a? ?x?14??b(25?x)?151?b??26?x4?解得x＝9.
即原来篮子A中有9个弹珠.
好题妙解】
佳题新题品味
例 阅读下列材料：
十六大提出全面建设小康社会，国际上常用恩格尔系数（记作n）来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式为
n＝
各类家庭的恩格尔系数如下表所示：
食品消费支出总额×100%，
消费支出总额 ()
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第六讲 分式在程(含答案)
