第四章
1.试求边长为a,b,c (包括外推距离)的长方体裸堆的几何曲率和中子通量密度的分布。设 有一边长a =b 0.5m,c=0.6m (包括外推距离)的长方体裸堆，
L= 0.043m,
.=6 10~m2
o( 1)求达到临界时所必须的 k：- ；( 2)如果功率为5000kW〕f = 4.01m-1
， 求中子
通量密度分布。
解: 长方体的几何中心为原点建立坐标系，则单群稳态扩散方程为：DEa? + y 0 :x :y
俘弓 +专)—:z
边界条件： (a/2,y,z) (x,b/2,z) = (x, y,c/2) =0
(以下解题过程都不再强调外推距离，可认为所有外边界尺寸已包含了外推距离) 因为三个方向的通量拜年话是相互独立的，利用分离变量法：*(x, y,z)=X(x)Y(y)Z(z)
V2X V2Y V2Z a — 1 将方程化为：一
X Y Z
设：空“竺一X
By,空
Y y
Z
L2
一 B；
想考虑X方向，利用通解：
X(x) = AcosBxX ? Csin BxX
代入边界条件：Acos(Ba
n兀x JI
2
二)=0= Bnx
a
,n =1,3.5,...-
B
1x :
a
同理可得： i
(x, y,z)二 i cos(-x)cos(J[
0
a —y)cos(-z)
a
a
其中0是待定常数。
2
2 2
其几何曲率：Bg
(_)2
=106.4m， c
k：： -1 _ B2
(1) 应用修正单群理论， 临界条件变为: M
2 g
其中：M 2 =L2
.
= 0.00248m2
二 k： ： -1.264
只须(2) 求出通量表达式中的常系数 0
P = E瓦JI
f ?dV = Ef ￡ f % J；cos(—x)dx J bcos(「y)dy J c2
cos(— z)dz = EJI
f l f》f ?c(二)~2
-2 b P(2)3
-■ '0
1
8
1
Ef j abc
1.007 10
m_g—2
_2 2
-2 2
2?设一重水一铀反应堆的堆芯k：：=1.28,L =1.8 10 m,~1.20 10 m。试按单群理 论，修正单群理论的临界方程分别求出该芯部的材料曲率和达到临界时候的总的中子不泄
露几率。
解：对于单群理论:
2、3
在临界条件下：
1 1
2 2
2 2 一
2
0.7813
1 B：L
21 B；L
(或用二=1 k：：)
2 2 2
对于单群修正理论： M =L：；r =0.03m
BM 二等1 = 9.33m 谡
1 1
在临界条件下：
2 2
1 + B：M
2
= 0.7813
1+B：M
2 2
2
(注意：这时能用-I =1 k-,实际上在维持临界的前提条件下修正理论不会 对不泄露几率产生影响，但此时的几何曲率、几何尺寸已发生了变化，不 再是之前的系统
了。)
4.设有圆柱形铀-水栅装置，R=0.50米，水位高度H=1.0米，设栅格参数为：k-=1.19 , L=6.6 -4
2
2 2
-2
x 10米，T =0.50 x 10米。(a)试求该装置的有效增殖系数 k; (b)当该装置恰好达临 界时，水位高度H等于多少？ (c)设某压水堆以该铀-水栅格作为芯部，堆芯的尺寸为 R=1.66 米，
H=3.50米，若反射层节省估算为
S r=0.07米，S H=0.1米。试求反应堆的初始反应性 p
以及快中子不泄漏几率和热中子不泄漏几率。
O)已知了反应堆的几何尺寸
修止单胖 临界理论
有效增殖系数k弼
l+(r+r)^
(b)
已知系统达临界，kefr=1
临界理论
材料曲率
-1
临界时,
几何曲率％
对于圆柱形裸堆
己经有
几何曲率二材料曲率
B? = B; + B： =
f 2405?
反射层尺寸￥堆芯尺屮
(c)
等效裸堆
R=R + & H^H + 23H
|等效裸堆的B”
zx
快中子不 泄漏几率 p 加装反射层后的k曲
热中子不 泄漏几率
=—!— 1
1+(厂+巧罠
加装反射层后的反薩性P
啰一1
5. 一个球壳形反应堆，内半径为
临界条件为：
R,外半径为R2，如果球的内、外均为真空，求证单群理论的
tan BRi - BRi tan BR : 1 + BR, tan BR1
2
解答：以球心为坐标原点建立球坐标系，单群稳态扩散方程：
~2 .r
-2 C
r
B
边界条件: i. lim J =0;
ii.
(R2)=0
&,、
(如果不R,包括了外推距离的话，所得结果将与题意相悖) 球域内方程通解：
(rH A
r
\丄亠 sin Br
C r
由条件 i可得：
cos BR1 A sin BR1 sin BR1 cosBR
lim
- - A ，一 CB 丄一C ，=0 —Ri J - -D' =AB
R1 R R R
=C = A —A - c a BR-i cos BR -sin BR1 A = tan BR - BR
BR sin BR +cosBR1 BR tan BR,十 1
rzR
1
1
1
1
由条件ii可得：
由此可见，tan BR2
235337 ?—由纯U金属J =18.7 -0kg/m)组成的球形快中子堆，其周围包以无限厚的纯
238U C、=19.0 103kg/m3)，试用单群理论计算其临界质量，单群常数如下：
23U :；「 =1.5b,「「a = 0.18b,'tr = 35.4m‘。 fa =1.78b,'L = 35.4m',v =2.51; 238U f = 0, 解：以球心为左边原点建立球左边系，对于 U-235和U-238分别列单群稳态扩散方程, 设其分界面在半径为 R处：
tan BR -BR
- -，证毕。 BR tan BR +-
(
；；
U -235: U -238:
空口5 宀j 8
L
方程1 方程2
i
i. iv
5
8
边界条件:
i. lim 5 :::::
5
(R) = 8(R)
iii. D5 ------
cr
-R
lim 8 = 0
，球域内
. r厂
令B2
k：L-1 5 ：
方程 通解: 由条件
(.在此临界条件下，既等于材料曲率，也等于几何曲
率)
,、 \C
5
A
(r) = A
5
i可知A =0，所以：5(r)二C r
丄
小
r .
r
sin Br
--
exp(_r/L8) C8 r
exp(_r / L,)
-
球域内方程2通解：8(r)二血
exp(r/ Ls)
由条件
,
iv可知，所以：8(r^ A8
r
由条件 ii可
得:
由条件 iii可
得:
si n BR ‘exp(-R/L8) C A
R R ,exp(-R/L8)
- 一 C 二 A -
sin BR
(R 1)exp(- R) L8
D5C(BcosBR
sin BR
所以(由题目已知参数
、. 、. 1 ' tr,5 二 tr,8= D5 二
3\\r,5
)二 DBA(-丄-2)exp( -卫)
BR R LB LL8R R
2
C A
L8
D5 sin BR —BRcosBR
3^,8
(占 1)exp(-￥)
即：-BRcosBR
exp(R/A
Asin BR - BRcosBR 卫D 5
sinBR
sin BR
L
LB
- ◎= sin BR —BRcosBR =(旦L 1)sin BR
B
L8
8
cosBR 一丄sinBR二
BL,
代入数据:
arccot1/BL)^B
N8 N8
k*'
1° 5A
?N
4.79 10 m M5
28 3
28 3
10「8 NA M8
V 二 f ,5 V 5
___ 1 34.81 10 m
；：
—=2.115
二 a,5
=1.31 10；m
2
二?a,5 二
f,5
B
=29.17m
二
1
——=—0.1043m
3 ' a,5 ' f,5
arccot(1/BLarctan(1/BL
R = 8= \8= 0.06474m
B
4 3
m=5 =5 R3 = 21.3kg
3
8 ?试证明有限高半圆形反应堆中子通量密度分布和几何曲X1rz
(r, z」)=AJ( )sin J cos( ) 1率
R H
兀 2 B2 -(X1)2
Bg( -g) H
其中：X1 =3.89是J1xJ的第一个零点，即。
证明：(1)书上图4-8所示的柱坐标系下， 单群稳态扩散方程可写为(临界条件下,
几何曲率与材料曲率相等)：
_))沖二(
()
\\ 2
.r r :r r
J = -B： ,(0 汀乞 R,0 \「，-H /2 乞Z 乞 H / 2)
z
IL 才==0
III. 出/2= z=_H/2 = 0
边界条件(不考虑外推距离)：i. ' r出=r凶=0
(注意，这里不能用线性微分方程解的存在唯一性定理： 如果aj(t)(i=1,2,
anx
存在唯一解
)，f(t)都是区间Ia,b］上的连续函数，则对于任
0
,(n4) x(n) ■ a1x(n^ 一 t0 ? (a, b)及任意的 x?,x0°,x02),…x0n?,方程：
亠 an4/ ■
=f(t)
X h卩(t)
定义于区间l-a,b 1上，且满足初值条件 x(k)(to) =x0k)(k =0, 而此扩散方程并非线性微分方程。)
对于表达式： (r,乙旳=AJj^jsin 二 cos(—^,人=3.89
, n_1),
R H
不难证明其满足上述全部三个边界条件。
(J1(0) = J1(3.89) =
0)
核反应堆物理分析习题答案第四章
