十一、截面、射影、折叠和展开
知识、方法、技能
截面、射影、折叠和展开是立体几何中的几个典型问题，体现空间问题和平面问题互相转化的数学思想方法―化归思想方法．
I．截面 1．截面
用一个平面去截几何体时，平面和几何体的交线围成的图形，叫做几何体的截面． 2．使面作法
（1）连线法； (2)平行线法； (3)相交线法． 3．截面面积的求法
(l)割补法：将截面割补成若干个三角形或特殊的多边形，然后求出这些面积的和或差； (2)面积射影定理：S射?S截?cos?，其中?是截面与射影平面所成的二面角．
4．平行于锥体底面的截面
S原、V原为原锥体底面积、体积，h是锥体的高，S原、V原、h截为截得的锥体底面积、孰高．
S原h2V原h3（1）（2）?2，?3．
S截h截V截h截II．射影 1. 射影
由空间一点向平面（直线）引垂线段，把垂足点叫做这点在平面（直线）上的正射影，简称射影．空间图形中一切点在平面上射影的集合，叫做这个空间图形在这个平面上的射影．
2.面积射影定理
在二面角的一个半平面上的任意多边形的面积S与这个二面角的度数?的余弦的乘积，等于这个多边形在二面角的另一半平面上射影多边形的面积S，即S?S?cos?．
III．折叠与展开 1．折叠
将一个平面图形沿着该平面内的某条直线折叠成一个空间图形，称为平面图形的折叠． 2．展开
一个几何体如果按照某种规则展开到一个平面，则称其几何体为可展几何体． 3．折叠与展开的方法
要准确画出原来的图形和折叠或展开后的图形，对照平面图形与立体图形元素的位置关系、大小、形状，确定哪些是不变量，哪些是变量．不变量是解题的基础．
赛题精讲 I.截面
例1. (1989年联赛题) 已知正三棱锥S-ABC的高PO?3，底面边长为6．过A点向它所对的侧面作垂线，垂足为O，在AO上取点P，使
''''AP?8．求经过点P且平行于底面'PO的截面的面积．
【解】如图，平面SAO交BC于D，则SO⊥AD，BC⊥平面ADS，所以AO′在平面ADS上．
设AO′∩SO=P′，∠SDA=α，
在△SOD中，tanα=SO/OD=3，故α=60°． 又AP’=AO/sinα=4,AO’=ADsinα=9/2． AP=8AO′/（8+1）=4=AP′
故P与P′重合，PO=APcosα=2． 设所求截面面积为S1，则 S1/S△ABC=（SP/SO）2=1/9．
1
．
例2.如图所示，三棱锥V—ABC中，VA⊥底面ABC，∠ABC＝90°. (1)求证：V、A、B、C四点在同一球面上.
(2)过球心作一平面与底面内直线AB垂直.求证：此平面截三棱锥所得的截面是矩形.
证明.(1)取VC的中点M，∵VA⊥底面ABC，∠ABC＝90°， ∴BC⊥VB，在Rt△VBC中，M为斜边VC的中点.
∴MB＝MC＝MV，同理在Rt△VAC中，MA＝MV＝MC， ∴MV＝MC＝MA＝MB，∴V、A、B、C四点在同一圆面上，M是球心.
(2)取AC，AB，VB的中点分别为N、P、Q，连结NP、PQ、QM、MN.则MNPQ就是垂直于AB的三棱锥V—ABC的截面，易证PQMN是平行四边形，又VA⊥BC，PQ∥VA，NP∥BC，∴QP⊥PN，故截面MNPQ是矩形.
例3.如图所示,在棱长为a的正方体AC1中求, (1)过BD1所作的最小截面面积;
(2)过BD1所作截面周长最小时的截面面积.
分析.这是一道有关立体几何最值问题的题目,比较综合,我们可对本题作简单分析:
证明：(1)设经过BD1的截面为BMD1N,因为正方体相对侧面平行,故BMD1N是平行四边形,这样S截=2S△BMD1显然欲使S截最小,只需S△BMD1最小,而BD1为定值,故只需M到BD1的距离最小,M可在AA1上移动,所以这个问题可转化为求异面直线 AA1与BD1之间的距离,而求异面直线间的距离又可化为线面间的距离(AA1与面BB1D1D间的距离)
(2)沿侧棱将侧面AD1与侧面AB1展开如图所示,D1M+MB的最小值就是侧面展开图中的D1B,设D1B与AA1交于M,由于侧面为全等的正方形，故M为AA1的中点,同理N为CC1的中点,此时MB∥ND1为所求截面. II.射影
例4.如图1，一间民房的屋顶有三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜.记三种盖法的屋顶面积分别为P1、P2、P3，若屋顶斜面与水平面所成的角都是?,则（ ） A． P3＞P2＞P1 B．P3＞P2＝P1 C．P3＝P2＞P1 D．P3＝P2＝P1
图1
① ②
分析：设这间民房的地面面积为S0，则有
③
S0?Pcos??Pcos??Pcos?， 123所以 P3＝P2＝P1，故选D.
【评析】本题要从屋顶的实际情景中透过日常生活中常见的现象，抽象出斜面在水平面上的射影的本质特征，反映了数学来源于社会现实，又为社会实践服务的基本事实. 例5.如图2，E、F分别为正方体的面ADD1A1和面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是_________.
2
图2
（要求：把可能的图的序号都填上） ．
分析 从俯视、正视和侧视三种方式观察平行四边形BFD1E在正方体各个面上的投影，可知图②③正确.
例6.正四面体ABCD的棱长为1，棱AB//平面?，则正四面体上的所有点在平面?内的射影构成的图形面积的取值范围是_________.
分析 如图3，设正四面体ABCD在平面?上的射影构
C D 成的图形面积为S，因为AB//平面?，从运动的观点看，B 当CD//平面?时，射影面积最大，此时射影图形为对角线长是1的正方形，面积最大值为
面?相交时，则当CD⊥平面?时，射影面积为最小，最小
1；若CD或其延长线与平2?A 图3
221值为（证明略），所以S?[,].
442例7．如图4，在一面南北方向的长方形墙ABHG上用AC=3m，BC=4m，AB=5m的角钢焊接成一个简易的遮阳棚（将AB放在墙上）。一般认为，
C 从正西方向射出的太阳光线与地面成75°角时气温最高。要B 使此时遮阳棚的遮阴面积最大，应将遮阳棚ABC面与水平面
A 成多大角度？
H ''分析 墙面ABHG在太阳光照射下的射影为ABHG ，
'''D 由题意可知光线AA,BB,CC与地面所成的角为750，设遮G B′ 阳棚ABC面与地面所成的角为θ（00≤θ≤900），△ABC在地面上的射影为△ABC，要使此时遮阳棚的遮阴面积最大，
''''即△ABC的面积最大，在CC上取一点D，使AD//AC，
'M A′
'''C′
图4
则易证明面ABC//面ABD，且△ABC≌△ABD，在平面
''''A'B'D内作DM⊥A'B'，垂足为M，连C/M，
'''''''∵AB⊥CC/，∴AB⊥CC，∴C/M⊥AB，则平面ABD与地面所成的二面角的大
小为∠DMC/=θ,
又由已知条件可得△ABD为直角三角形，DM=MC/=
''12m，在△DMC/中，由正弦定理得5120sin(105??) ， 05sin75'''''0∴当sin(105??)=1，即θ=150时，MC/最大，∵AB为定值，所以此时△ABC的
面积最大．
例8. (1992年联赛题))设l，m是两条异面直线，在l上有A，B，C三点，且AB=BC，过A，B，C分别作m的垂线AD，BE，CF，垂足依次是D，E，F，已知AD=15，BE=7CF=10，求l与m的距离．
2【解】设LM为直线l与m的公垂线， L∈l , M∈m . 过m作平面 P 平行于直线 l ，过 A , B , C ，分别作平
3 面P的垂线，AG,BH,CK, 垂足分别为G, H, K，则点G, H, K 落在与l平行的直线l '上，连GD，HE，KF.
∵AB=BC,AG||BH||CK,∴CH=HK.
又∵ AD⊥m,BE⊥m , CF⊥m ，由三垂线定理得CD⊥ m，HE⊥m，KF⊥m, 故GC|| HE||KF，且E, H分别为FD, KC 的中点．设l与m的距离为x，则 AC = BH = CK=LM=x .
∵GD?AD2?AG2,HE?BE2?BH2,KF?CF2?CK2. 7,CF?10. 2又AD?15,BE?当点A , B , C 在点 L 的同一侧时，有2HE ＝KF+GD．
492?x?10?x2?15?x2解此方程，得x??6，舍去负根，求得直线 4z 与 m 的距离为6. 于是2III.折叠与展开
例9.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AA1=4,M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M点的最短路线长为29，设这条最短路线与C1C的交点为N．求
（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长； （2）PC和NC的长；
（3）平面NMP和平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）．
解：①正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为92?42?97
②如图1，将侧面BC1旋转120使其与侧面AC1
在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过CC1到点M的最短路线．
设PC＝x，则P1C＝x，
在Rt?MAP3＋x)2?22?29,x?2 1中，（??MCP1C24??,?NC?． MAP1A55③连接PP（如图2），则PP1就是NMP与平面ABC1
的交线，作NH?PP1于H，又CC1?平面ABC，连结CH，由三垂线定理得，CH?PP1．
??NHC就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角．
1在Rt?PHC中，??PCH??PCP1?60?,?CH?1．
2NC4在Rt?NCH中，tan?NHC??．
CH5例10.（江苏卷）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）．将△AEF沿EF折起到?A1EF的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）
（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；
4
（Ⅲ）求二面角B－A1P－F的大小（用反三角函数表示）．
AA1
E
E
FF
BCP
BCP 解法一：不妨设正三角形ABC的边长为3．
图2 （1）在图1中，取BE图1 中点D，连结DF. AE：EB=CF：FA=1：2∴AF=AD=2．
0
而∠A=60 , ∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1, ∴EF⊥AD．
在图2中，A1E⊥EF, BE⊥EF, ∴∠A1EB为二面角A1－EF－B的平面角． 由题设条件知此二面角为直二面角，A1E⊥BE,
又BE?EF?E，∴A1E⊥平面BEF,即 A1E⊥平面BEP．
（2）在图2中，A1E不垂直A1B, ∴A1E是平面A1BP的垂线， 又A1E⊥平面BEP，∴A1E⊥BE.
从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）．
设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q,且A1Q交BP于点Q,则∠E1AQ就是A1E与平面
0
A1BP所成的角,且BP⊥A1Q.在△EBP中, BE=EP=2而∠EBP=60 , ∴△EBP是等边三角形.
又 A1E⊥平面BEP , ∴A1B=A1P, ∴Q为BP的中点,且EQ?3,又 A1E=1,在Rt△A1EQ中，tan?EAQ?1EQ?3,∴∠EA1Q=60o, ∴直线A1E与平面A1BP所成的角为600． A1E0
在图3中，过F作FM⊥ A1P与M，连结QM,QF,∵CP=CF=1, ∠C=60, ∴△FCP是正三角形，∴PF=1.有PQ?1BP?1∴PF=PQ①, 2∵A1E⊥平面BEP, EQ?EF?3 ∴A1E=A1Q, ∴△A1FP≌△A1QP从而∠A1PF=∠A1PQ②, 由①②及MP为公共边知△FMP≌△QMP,
o
∴∠QMP=∠FMP=90,且MF=MQ,
从而∠FMQ为二面角B－A1P－F的平面角. 在Rt△A1QP中,A1Q=A1F=2,PQ=1,又∴A1P?5. ∵ MQ⊥A1P∴MQ?由余弦定理得QF?3．
A1Q?PQA1P?25250
∴MF?在△FCQ中,FC=1,QC=2, ∠C=60,557MF2?MQ2?QF2在△FMQ中，cos?FMQ???．
2MF?MQ87∴二面角B－A1P－F的大小为??arccos．
8CH、DH,解法二:（1）作AH?面BCD于H,连BH、
则四边形BHCD是正方形,且AH?1,以D为原点,以DB为x轴,DC为y轴建立空间直角坐标系如图,
则B(1,0,0),C(0,1,0),A(1,1,1). ????????BC?(?1,1,0),DA?(1,1,1), ?????????BC?DA?0,则BC?AD.????????(2)设平面ABC的法向量为n1?(x,y,z),则由n1?BC
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数学竞赛专题讲座 十一、截面、射影、折叠和展开
