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《组合数学》
2020年奥鹏东北师大考核试题标准答案
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满分100分
一、计算题（每小题10分，共60分。）
1、求?x1?x2?...?x5?的展开式中x1x3x4x5的系数? 展开后合并同类项，则一共有多少项？
7232、求从1至1000的整数中能被14或21整除的整数的个数。
3、一次宴会，7位来宾寄存他们的帽子，在取回他们的帽子时，问有多少种可能使得： （1）没有一位来宾取回的是他自己的帽子？ （5分） （2）至少有一位来宾取回的是他自己的帽子？（5分）
4、在平面上,对任意自然数n,连接原点O与点Pn(n,n?3),用f(n)表示线段OPn上除端点外的整点个数,试求f(1)?f(2)?L?f(2004).
(n?2)?an?5an?1?6an?2 5、解递推关系：?。
a?4, a?91?06、现有人手中有3张一元,2张2元和3张5元的钱币,问该人都能买价值为多少的物品？对每种价值的物品他有几种付款方法？
二、证明题（每小题20分，共40分。）
1、证明：
???1?CCkrkk?0kn?0 。
2、证明：在任意给出的1998个自然数a1，a2，…，a1998中，必存在若干个数，它们的和能被1998整除。
参考答案
一、计算题（每小题10分，共60分。）
1、求?x1?x2?...?x5?的展开式中x1x3x4x5的系数? 展开后合并同类项，则一共有多少项？
723答 在多项式?x1?x2?...?x5?的展开式中的项x1x3x4x5的系数是 C77232,0,1,3,1=
7!=420.
2!0!1!3!1!因为在它的展开式中不同项（合并同类项后）的个数等于从5个不同元素中有重复地取出7个元素的方法
7数，所以不同项的个数为C5?7?1?330。
2、求从1至1000的整数中能被14或21整除的整数的个数。
2.解：设所求为N，令S?{1,2,?,1000}，以A，B分别表示S中能被14和能被21整除的整数所成之集，
N?A?B?A?B?A?B则 ?? ???????142114?3???????1000??1000??1000? ?71?47?23?95
3、一次宴会，7位来宾寄存他们的帽子，在取回他们的帽子时，问有多少种可能使得： （1）没有一位来宾取回的是他自己的帽子？ （5分） （2）至少有一位来宾取回的是他自己的帽子？（5分）
3.解：记7个来宾为A1，A2，…，A7，则7个来宾取帽子的方法可看成是由A1，A2，…，A7作成的全排列：如果Ai（1≤i≤7）拿了Aj的帽子，则把Ai排在第j位，于是
（1）没有一位来宾取回的是他自己的帽子的取法种数等于7元重排数D7，即等于1854。
（2）至少有一位来宾取回的是他自己的帽子的取法种数等于由A1，A2，…，A7作成的至少有一个元保位的全排列数，为 7!?D7?5040?1854?3186
4、在平面上,对任意自然数n,连接原点O与点Pn(n,n?3),用f(n)表示线段OPn上除端点外的整点个数,试求f(1)?f(2)?L?f(2004). 4.解 线段OPn的方程为 y?n?3x,0?x?n. n如果n与n?3互素,则不定方程(n?3)x?ny?0不存在适合0?x?n的整数解,即f(n)?0;如果n与
n?3不互素,则n与n?3只能有公因数3,即可以设n?3k.则通过解不定方程,有整数点
(k,k?1),(2k,2(k?1))位于线段OPn之上,且OPn中间仅有这二个整数点,即f(n)?2.所以
f(1)?f(2)?f(3)?L?f(2004) ?2?[
2004]?2?668?1336. 3(n?2)?an?5an?1?6an?2 5、解递推关系：?。
a?4, a?91?0nn25.解：特征方程为x?5x?6?0，特征根为x1?2，x2?3，所以an?c1?2?c2?3，其中c1，
?c1?c2?4c2是待定常数，由初始条件得 ?
2c?3c?92?1nn解之得c1?3，c2?1，所以 an?3?2?3 （n?0,1,2,?）
6、现有人手中有3张一元,2张2元和3张5元的钱币,问该人都能买价值为多少的物品？对每种价值的物品他有几种付款方法？
6.解 令一元钱币对应的能买物品的形式幂级数为f1(x)?1?x?x?x；2元钱币对应的能买物品的形式幂级数为f2(x)?1?x?(x)?1?x?x；5元钱币对应的能买物品的形式幂级数为
2222423f5(x)?1?x5?(x5)2?(x5)3?1?x5?x10?x15,则该人能买物品对应的形式幂级数为
f(x)?f1(x)f2(x)f5(x) ?(1?x?x?x)(1?x?x)(1?x?x?x)232451015
=1+x+2x2+2x3+2x4+3x5+2x6+3x7+2x8+2x9+3x10 +2x11+3x12+2x13+2x14+3x15+2x16+3x17+2x18 +2x19+2x20+x21+x22所以,该人可以买价值分别为0,1,2,L,21,22元的物品,并且付款的方法数 分别为0,1,2,2,2,3,2,3,2,2,3,2,3,2,2,3,2,3,2,2,2,1,1.
二、证明题（每小题20分，共40分。）
1、证明：
1. 证明 在牛顿定理中令a?1,b??t,则有 ?1?t??nk???1?CkrCnkk?0
?0 。
???1?Ctkk?0kkkn………(1)
对上式两边的t求微商,得到 ?n?1?t?n?1kk?1????1?kCnt. k?1令t=1,我们就得到第一个结论. 如果我们对(1)式两边的t进行r次微商,则有
??1?rPnr?1?t?n?r????1?kPkrCnktk?r.
k?r在上式两边同时除以r!,并令t=1,即可得到第二个结论.
2、证明：在任意给出的1998个自然数a1，a2，…，a1998中，必存在若干个数，它们的和能被1998整除。 2.证明：令B?{b1,b2,?,b1998}，其中
bj?a1?a2???aj(j?1,2,?,1998)则B?1998，对任一个非负整数i（0≤i≤1997），
令 Bi?{bb?B且b除以1998所得余数为i}，
则Bi?B（i?0，1，2，…，1997）且?Bi?B，如果B0??，设bs是B0??，则?Bi?B，
i?0i?019971997
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