专题一 函数
一、 知识框架
定义F:A?B反函数映射函数具体函数一般研究图像 性质 二次函数指数指数函数对数对数函数二、函数的概念：
1. 映射：
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）?B（象）”
对于映射f：A→B来说，则应满足：
(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的； (2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 2. 函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
函数的三要素：定义域、对应关系、值域.
3.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. 4.函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.
三、定义域的求法：
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时，列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1； (5) 指数为零，底不可以等于零；
(6) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合；
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
四、值域的求法:
1.函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的，其类型依解析式的特点分可分三类： (1)求常见函数值域；
(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；
(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域 2.函数值域的常用方法： (1)观察法：
通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 (2)配方法：
(二次或四次) 转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
常转化为含有自变量的平方式与常数的和，型如：f(x)?ax2?bx?c,x?(m,n)的形式，然后根据变量的取值范围确定函数的最值。 (3)换元法：
代数换元法通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的；三角代换法可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题，化归思想。 (4)分离常数法：
对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域。 (5)判别式法：
2
若函数y=f（x）可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a（y）x+ b（y）x+c（y）
2
=0，则在a（y）≠0时，由于x、y为实数，故必须有Δ=b（y）－4a（y）·c（y）≥0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x值。 (6)最值法：
对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值，并与边界值f(a)，f(b)作比较,求出函数的最值，可得到函数y的值域。
五、解析式的求法：
1. 待定系数法：
已知函数图象，确定函数解析式，或已知函数的类型且函数满足的方程时，常用待定系数法。
2. 函数性质法：
如果题目中给出函数的某些性质（如奇偶性、周期性），则可利用这些性质求出解析式。 3. 图象变换法：
若给出函数图象的变化过程，要求确定图象所对应的函数解析式，则可用图象变换法。 4. 换元法： 5. 配凑法：
6. 赋值（式）法：
六、函数图象：
1.定义：
在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . 2.作图
利用描点法作图：
①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：
要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换
h?0,左移h个单位y?f(x)????????y?f(x?h)h?0,右移|h|个单位k?0,上移k个单位y?f(x)????????y?f(x)?k
k?0,下移|k|个单位②伸缩变换
0???1,伸y?f(x)?????y?f(?x) ??1,缩0?A?1,缩y?f(x)?????y?Af(x) A?1,伸③对称变换
y轴x轴??y?f(?x) y?f(x)????y??f(x) y?f(x)??直线y?x原点y?f(x)????y??f(?x) y?f(x)?????y?f?1(x)
去掉y轴左边图象y?f(x)????????????????y?f(|x|) 保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象保留x轴上方图象y?f(x)??????????y?|f(x)| 将x轴下方图象翻折上去（2）识图
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图
函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是
探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．
七、函数的单调性：
1. 定义：
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1 注意：函数的单调性是函数的局部性质 2. 图象的特点： 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. 3. 函数单调区间与单调性的判定方法： (1)定义法： 1 任取x，x∈D，且x 3 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差f(x)－f(x)的正负）； ○ 5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． ○ 1 2 1 2 1 2 1 2 (2)图象法(从图象上看升降) 4.函数单调性的常用结论： (1)若f(x),g(x)均为某区间上的增（减）函数，则f(x)?g(x)在这个区间上也为增（减）函数； (2)若f(x)为增（减）函数，则?f(x)为减（增）函数； (3)若f(x)与g(x)的单调性相同，则y?f[g(x)]是增函数；若f(x)与g(x)的单调性不同，则y?f[g(x)]是减函数；其规律：“同增异减” (4)奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反； (5)常用函数的单调性解答：比较大小、求值域与最值、解不等式、证不等式、作函数图象； (6)函数的单调区间只能是定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成并集。 八、函数的奇偶性： 1. 定义： 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． 2. 具有奇偶性的函数的图象的特征: 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 3. 判断函数奇偶性的步骤： 1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ○ 2确定f(－x)与f(x)的关系； ○ 3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数； ○ 若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． 4. 函数奇偶性的常用结论： （1）如果一个奇函数在x?0处有定义，则f(0)?0，如果一个函数y?f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)?0（反之不成立） （2）两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。 （3）一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。 （4）两个函数y?f(u)和u?g(x)复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。 （5）若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)可以表示为 11f(x)?[f(x)?f(?x)]?[f(x)?f(?x)]， 22该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和。 （6）若函数y?f(x)是偶函数，则f(x?a)?f(?x?a)； 若函数y?f(x?a)是偶函数，则f(x?a)?f(?x?a). （7）多项式函数的奇偶性 多项式函数P(x)是奇函数?P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数P(x)是偶函数?P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 九、函数的周期性： 1．定义： 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x?T)?f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做函数的周期。 2．函数周期性的性质： （1）对于非零常数A，若函数y?f(x)满足f(x?A)??f(x)，则函数y?f(x)必有一个周期为2A。 （2）对于非零常数A，函数y?f(x)满足f(x?A)?2A。 （3）对于非零常数A，函数y?f(x)满足f(x)??1，则函数y?f(x)的一个周期为f(x)1，则函数y?f(x)的一个周期为2A。 f(x)3.对称性和周期性之间的联系： （1）函数y?f(x)有两根对称轴x=a，x=b时，那么该函数必是周期函数，且对称轴之间距离的两倍必是函数的一个周期。 （2）函数y?f(x)满足f(a?x)?f(a?x)?c和f(b?x)?f(b?x)?c（a≠b）时，函数y?f(x)是周期函数。 （函数y?f(x)图象有两个对称中心（a， cc）、（b，）时，函数y?f(x)是周期函数，22且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期。） （3）函数y?f(x)有一个对称中心（a，c）和一个对称轴x?b）（a≠b）时，该函数也是 周期函数，且一个周期是4(b?a) 十、二次函数： 1. 一般式：f(x)?ax2?bx?c,a?0 2. 顶点式：f(x)?a(x?m)2?n,a?0 3. 零点式：f(x)?a(x?x1)(x?x2),a?0 十一、反比例函数： k形如y?,k?0的函数 x十二、“对号”函数： b形如y?ax?,a,b?0的函数 xb1. 一般地，对于函数y?ax?,a,b?0． x（１）当a?0,b?0时，函数在(??,?bbb)及(,??)上为增函数，在(?,0)及aaab)上为减函数．函数的值域是(??,?2ab]?[2ab,??)． a（２）当a?0,b?0时，函数在(??,0)及(0,??)上都是增函数，值域为(??,??)． (0, y o x 十三、指数函数： 1. 根式的概念： ①如果xn?a,a?R,x?R,n?1，且n?N?，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时， a的n次方根用符号na表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号?na表示；0的n次方根是0；负数a没有n次方根． ②式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，a?0． 2. 根式的性质： ①(na)?a； ②当n为奇数时，a?a； 当n为偶数时， a?|a|??3. 分数指数幂的概念： nnnnn?a (a?0) ?a (a?0) ?
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