5.求下列定积分的值：
(1)?(x?x?1)dx (2)?(2x?x2)dx
10221(3)?21x (4)dx?1xdx 01?x22(5)?cosxdx (6)?0edx
0?2x25.3 定积分的积分法
在第四章我们学习了用换元积分法和分部积分法求已知函数的原函数.把它们稍微改动就是定积分的换元积分法和分部积分法.但最终的计算总是离不开牛顿-莱布尼兹公式. 5.3.1定积分的换元积分法
定理5.4 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且满足下列条件： （1）x??(t)，且a??(?)，b??(?)；
（2）?(t)在区间[?,?]上单调且有连续的导数??(t)； （3）当t从?变到?时，?(t)从a单调地变到b. 则有
上述公式称为定积分的换元积分公式.在应用该公式计算定积分时需要注意以下两点：
①从左到右应用公式，相当于不定积分的第二换元法.计算时，用x??(t)把原积分变量x换成新变量?(t)，积分限也必须由原来的积分限a和b相应地换为新变量t的积分限?和?，而不必代回原来的变量x，这与不定积分的第二换元法是完全不同的.
②从右到左应用公式，相当于不定积分的第一换元法（即凑微分法）.一般不
用设出新的积分变量，这时，原积分的上、下限不需改变，只要求出被积函数的一个原函数，就可以直接应用牛顿—莱布尼兹公式求出定积分的值.
例5.3.1 求?03x1?xdx.
解 令1?x?t，则x?t2?1，dx?2tdt，当x?0时，t?1，当x?3时，t?2， 于是
?30x1?xdx=?212t2?1?2tdt=2?(t2?1)dt
1t2=2[t3?t]1=
1383?例5.3.2 求?2cos3xsinxdx.
0解法一
设t?cosx，则dt??sinxdx，当x?0时，t?1；当x???2时，t?0，于是
?解法二
200111=. cos3xsinxdx=?t3?(?dt)=?t3dt=[t4]10104411422cosxsinxdx=?2cosxdcosx=[?cosx]=. 0?0?04433???解法一是变量替换法，上下限要改变；解法二是凑微分法，上下限不改变. 例5.3.3 求?ln20ex?1dx.
2tdt，当x?0时，t?0；当x?ln21?t2解 令ex?1?t，则x?ln(1?t2)，dx?时，t?1，于是
?ln20242t12t1dtdt2(1?==e?1dx=?t??01?t2?01?t2)dt 01?t2x1=2[t?arctant]10=2??2.
例5.3.4 设f(x)在区间[?a,a]上连续，证明： （1）如果f(x)为奇函数，则?f(x)dx?0；
?aaa（2）如果f(x)为偶函数，则?f(x)dx?2?f(x)dx.
?a0a这结论是定积分的性质5.1.8，下面我们给出严格的证明. 证 由定积分的可加性知
??a?af(x)dx??f(x)dx??f(x)dx，
?a00?a0a对于定积分?f(x)dx，作代换x??t，得
0?aaf(x)dx=??f(?t)dt=?f(?t)dt=?f(?x)dx，
a00aa000aa所以 ?f(x)dx??f(?x)dx??f(x)dx
?a=?[f(x)?f(?x)]dx
0a（1）如果f(x)为奇函数，即f(?x)??f(x)，则f(x)?f(?x)?f(x)?f(x)?0， 于是 ?f(x)dx?0.
?aa（2）如果f(x)为偶函数，即f(?x)?f(x)，则
f(x)?f(?x)?f(x)?f(x)?2f(x)，
于是 ?f(x)dx?2?f(x)dx.
?a0aa例5.3.5 求下列定积分： （1）??332x2sinxdx （2）?x24?x2dx 4?21?xx2sinx解 （1）因为被积函数f(x)?是奇函数，且积分区间[?3,3]是对称41?x区间，所以
?3?x2sinxdx=0.
31?x4（2）被积函数f(x)?x24?x2是偶函数，积分区间[?2,2]是对称区间，所以
?2?2x24?x2dx=2?x24?x2dx，
02令x?2sint，则dx?2costdt，4?x2?2cost， 当x?0时，t?0；当x?2时，t??2，于是
?220?2??2x24?xdx=2?16sintcostdt=8?2sin22tdt
220?20=4?(1?cos4t)dt=(4t?sin4t)02=2?.
2.分部积分法
定理5.5 设函数u?u(x)和v?v(x)在区间[a,b]上有连续的导数，则有
??bau(x)dv(x)?[u(x)v(x)]??v(x)du(x).
abab上述公式称为定积分的分部积分公式.选取u(x)的方式、方法与不定积分的分部积分法完全一样.
例5.3.6 求?xlnxdx.
12解 ?2112121222xlnxdx=?lnxd(x)=xlnx??xd(lnx)
2122111231=2ln2??xdx=2ln2?x2=2ln2?.
2144122例5.3.7 求?xsinxdx.
0?解 ?xsinxdx=??xdcosx=?xcosx0??cosxdx
000????=??sinx0=?.
例5.3.8 求?exdx.
01?解 令x?t，则x?t2，dx?2tdt,当x?0时，t?0；当x?1时，t?1. 于是
?10edx=2?tedt=2?tde=2te00x1t1tt10?2?etdt
01=2e?2et0=2e?2e?2=2.
此题先利用换元积分法，然后应用分部积分法.
习题 5.3
1.求下列定积分的值： (1)?11?lnxdx (2)?x1?x2dx
10xe21(3)?1(5)?131xdxedx (4)?01?x?1 x2164dxx?3x (6)?110x?1dx x(7)?x2e2xdx (8)?arctanxdx
0021(9)?e?10?ln(x?1)dx (10)?2e2xcosxdx
02.求下列定积分：
x3sin2xdx (1)?(x?3x?sinxcosx)dx (2)??14?1x?2x2?11221(3)?a?ax2x?a22dx (4)?1?11?sinx1?x2dx
5.4 定积分的应用
由于定积分的概念和理论是在解决实际问题的过程中产生和发展起来的，因而它的应用非常广泛.
问题1 在机械制造中，某凸轮横截面的轮廓线是由极坐标方程r?a(1?cos?)
(a?0)确定的，要计算该凸轮的面积和体积.
问题2 修建一道梯形闸门，它的两条底边各长6m和4m，高为6m,较长的底边与水面平齐，要计算闸门一侧所受水的压力.
为了解决这些问题，下面先介绍运用定积分解决实际问题的常用方法——微元法，然后讨论定积
分在几何和物理上的一些简单应用.读者通过这部分内容的学习，不仅要掌握一些具体应用的计算公
定积分及其应用精讲精练
