[a,x]上也连续，所以函数f(x)在[a,x]上也可积.显然对于[a,b]上的每一个x的取
值，都有唯一对应的定积分?f(t)dt和x对应，因此?f(t)dt是定义在[a,b]上的函
aaxx数.记为
?(x)??f(t)dt，x?[a,b].
ax称?(x)叫做变上限定积分,有时又称为变上限积分函数.
变上限积分函数的几何意义是： 如果f(x)?0，对?a,b?上任意x，都 对应唯一一个曲边梯形的面积?(x)， 如图5.6中的阴影部分.因此变上限 积分函数有时又称为面积函数.
函数?(x)具有如下重要性质.
定理5.1 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则?(x)??f(t)dt在[a,b]上可导，
axy o a x b 图5.6 且??(x)?dxf(t)dt?f(x)dx?a(a?x?b).
证 给定函数?(x)的自变量x的改变量?x，函数?(x)有相应的改变量??.则
????(x??x)??(x)??x??xaf(t)dt??f(t)dt??axx??xxx??xxf(t)dt.
f(t)dt?f(?)?x成立.
由定积分的中值定理，存在??(x,x??x)或(x??x,x)，使?所以??(x)?limf(x)连续??f(?)?x?lim?limf(?)?limf(?)f(x).
?x?0?x?x?0?x?0??x?x由定理5.1可知，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数?(x)??f(t)dt就
ax是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数.由定理5.1我们有下面的结论.
定理5.2（原函数存在定理） 如果f(x)在区间[a,b]上连续，则它的原函数一定存在，且其中的一个原函数为
?(x)??f(t)dt.
ax注 这个定理一方面肯定了闭区间[a,b]上连续函数f(x)的一定有原函数（解决了第四章第一节留下的原函数存在问题），另一方面初步地揭示积分学中的定积分与原函数之间的联系.为下一步研究微积分基本公式奠定基础.
例5.2.1 计算
dx?tesintdt. ?0dxxdx?t解 ?esintdt=[?e?tsintdt]?=e?xsinx.
0dx01x例5.2.2 求lim2?ln(1?t)dt.
0x?0x0解 当x?0时，此极限为型不定式，两次利用洛必塔法则有
01lim2x?0x?x0ln(1?t)dt?=limx?0x0ln(1?t)dtx21
1=lim1?x= x?022
=limln(1?x)
x?02xdx22例5.2.3 求?(t?1)dt.
dx1解 注意，此处的变上限积分的上限是x，若记u?x，则函数?(t2?1)dt可
122x2以看成是由y??(t2?1)dt与u?x2复合而成，根据复合函数的求导法则得
1udx22du2du2(u?1)2x ==(t?1)dt[(t?1)dt]??11dxdudx=(x4?1)2x=2x5?2x.
一般地有，如果g(x)可导，则
g(x)dg(x)[?f(t)dt]?[?f(t)dt]?x?f[g(x)]g?(x). aadx上式可作为公式直接使用.
?例5.2.4 求极限limx?04x?0x20sintdtx04.
00解 因为limx?0，所以这个极限是型的未定式，lim?sintdt??sintdt?0，
x?0x200利用洛必塔法则得
?limx?0x20sintdtx4sinx2?2xsinx2=lim=lim 32x?0x?04x2x1sinx21=lim2 =. 2x?0x25.2.2微积分基本公式
定理5.3 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且F(x)是f(x)的任意一个原函数，那么
?baf(x)dx?F(b)?F(a).
xa证 由定理5.2知，?(x)??f(t)dt是f(x)在区间[a,b]的一个原函数，则
?(x)与F(x)相差一个常数C，即
?aaxaf(t)dt?F(x)?C.
又因为0??f(t)dt?F(a)?C，所以C??F(a).于是有
?xabf(t)dt?F(x)?F(a).
所以 ?f(x)dx?F(b)?F(a)成立.
a为方便起见，通常把F(b)?F(a)简记为F(x)a或[F(x)]ba，所以公式可改写为 上述公式称为牛顿—莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式，又称为微积分基本公式.
定理5.3揭示了定积分与被积函数的原函数之间的内在联系，它把求定积分的问题转化为求原函数的问题.确切地说，要求连续函数f(x)在[a,b]上的定积分，只需要求出f(x)在区间[a,b]上的一个原函数F(x)，然后计算F(b)?F(a)就可以了.
例5.2.5 计算?x2dx.
01b解 因为?x2dx?x3?C，所以
1313131=x=?1??0=. xdx?03330312113exdx. 例5.2.6 求??1x1?e1x1d(e?1)exx1ln(1?e) dx解 ??1==??11?ex?11?ex1=ln(1?e)?ln(1?e?1)=1.
例5.2.7 求?2?xdx.
?13解 根据定积分性质5.1.3，得
?3?12?xdx=?|2?x|dx??|2?x|dx??(2?x)dx??(x?2)dx
?12?1223239111=(2x?x2)?(x2?2x)=?=5.
2222?12(1?23?33???n3). 例5.2.8 求极限limn??n423解 根据定积分定义,得
牛顿与莱布尼兹
牛顿（Newton，Isaac，1643～1727）英国物理学家，数学家，天文学家.经典物理学理论体系的建立者.莱布尼兹
（Gottfriend Wilhelm Leibniz,1646-1716）是17、18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才.他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献.
微积分创立的优先权，数学上曾掀起了一场激烈的争论.实际上，牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼兹，但莱布尼兹成果的发表则早于牛顿.莱布尼兹在1684年10月发表的《教师学报》上的论文，“一种求极大极小的奇妙类型的计算”，在数学史上被认为是最早发表的微积分文献.牛顿在1687年出版的《自然哲学的数学原理》的第一版和第二版也写道：“十年前在我和最杰出的几何学家G、W莱布尼兹的通信中，我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、作切
线的方法以及类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，……这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法.他并诉述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外.”（但在第三版及以后再版时，这段话被删掉了.）因此，后来人们公认牛顿和莱布尼兹是各自独立地创建微积分的.牛顿从物理学出发，运用集合方法研究微积分，其应用上更多地结合了运动学，造诣高于莱布尼兹.莱布尼兹则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的.莱布尼兹认识到好的数学符号能节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一.因此，他发明了一套适用的符号系统，如，引入dx表示x的微分，∫表示积分，等等.这些符号进一步促进了微积分学的发展.1713年，莱布尼兹发表了《微积分的历史和起源》一文，总结了自己创立微积分学的思路，说明了自己成就的独立性.你知道为什么称为牛顿---莱布尼兹公式了吧！
习题5.2
1. 求下列函数的导数： (1)F(x)??x01t?1dt (2)F(x)??2?tx2x2asintdt tx2 (3) F(x)??tedt (4)F(x)??cos2tdt
?x2.求下列函数的极限： (1)
?limx?0x0cos2tdtx? (2)limx?1x1t(t?1)dt2(x?1)x0
(3)
?limx?0x0arctantdtx2 (4)
x?limx?0(1?t?1?t)dtx2
3.求函数F(x)??t(t?2)dt在区间[?1,3]上的最大值和最小值.
04.求由曲线y??x2?2x与直线x?0,x?2及x轴所围成的曲边梯形的面积.
定积分及其应用精讲精练
