重庆大学《复变函数与积分变换》课程试卷答案
姓名
2012 ~2013学年 第 1 学期
开课学院： 数学学院 课程号：10001430
4．设f(z)??z?，则下列说法正确的是 【 B 】 命题人A. f(z)仅在(0,0)处连续 B. f(z)在(0,0)处可导 ：2 考试日期： 2013.1
C. f(z)在复平面上处处不可导 D. f(z)至少有一个解析点
考试方式：
考试时间： 120 分钟 组题5．2cos(??5i)的值为 【 B 】 人 密 弊号学作 绝 拒 、 纪 考 肃 严 级、年信 守 实封 诚 、 争 竞 平班、公业专 线 院学题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分 得 分
一、单项选择题(每小题2分，共20分)
31．若复数x?iy???1?3i??2??，则 【 D 】
??A. x?0,y?1 B. x?0,y??1
C. x?1,y?0 D. x??1,y?0
2．连接1?i与1?i的直线段方程为 【 A 】 A. z?1?i?(?2i)t，0?t?1 B. z?1?i?(?2i)t，???t??? C. z?1?i?2t，0?t?1
D. z?1?i?2t，???t???
3．极限limRez的值为 【 D 】
z?0zA. 11?i B. 11?i C. 1 D. 不存在
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A. e5?e?5 B. ?e5?e?5 C. e5?e?5 6．设f(z)?x2?i(2y3)，则f?(3?i)的值为 A. 6?6i B. 6?6i C. 6 sin?7．积分
?4zz2?1dz的值为 z?1?12A.
22 B. 24 C.
22?i ??8．幂级数
?(n?2n)zn的收敛半径为 n?0A. 0 B.
12 C. 2 9．拉氏变换L[e?tsin2t]等于 A.
2(s?1)2?4 B. 2s(s?1)2?4 C. (s?1)2?4 10．设傅氏变换F[f(t)]?F(?)，则F[tf(t)]等于 A. ?F?(?) B. ?iF?(?) C. F?(?)
二、填空题（每小题3分，共30分）
D. e?5?e5
【 C 】 D. 6i
【 C 】
D. 24?i 【 B 】
D. ?? 【 A 】 D. s(s?1)2?4
【 D 】 D. iF?(?) ： 审题人： 命题时间： 教务处制
i?1．2?2i的指数表达式为 22e4．
2．方程z3?8?0的所有复数根为 1?3i．
3．函数f(z)?Ln(z?3)在复平面上除去实轴上一区间???,3?外是解析的．
4.z?z2ez2dz? 0 ?1z?2z?2 ．
5．f(z)?11ez?2iz?3在z?0处展成泰劳级数的收敛半径R? 2 ．6．如果z0为f(z)的本性奇点，则f(z)在z0的去心邻域内的罗朗级数含z?z0的 无穷多 个负幂项． 37．z??2是
z?8?z2?4?3的 2 阶极点．
8．留数Res???z?1?2????,1?? 4 ．
???z?1????9．
??(t??3??3)sintdt?2． 10．设f(t)的拉氏变换L[f(t)]?1s2?1，则f?(t)的拉氏变换L[f?(t)]?ss2?1． 三、计算题 (每小题7分, 共21分)
1．设f(z)?3?2?7??1d?，求f?(1?i)．???3??z
解：由柯西积分公式得，当z?3时， f(z)?2?i(3?2?7??1)??z
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?2?i(3z2?7z?1)，
故f?(z)?2?i(6z?7)，而1?i在圆盘z?3内．从而 f?(1?i)?2?i?6(1?i)?7?
??12??26?i．
??．利用留数计算积分x22??4x2?2dx. ?2x?5： 取R(z)?z2z2解2z4?5z2?2?(z2?2)(2z2?1), 则R(z)在上半平面的有限奇点为z1?2i和z2?22i，于是 ??x2242dx?2?i?Res[R(z),zk] ???2x?5x?2k?1?2?i???limz?z?z?z1?R(z)?lim?z?z2?R(z)??
1z?z2??2?iz2??z2????zlim?2i(z?2i)(2z2?1)?lim22?z?22i2(z?2i)(z?2)?? ??2?i(?26i?2212i)?6? ?y???2y??3y?e?t3. 利用拉氏变换求解初值问题：??yt?0?0
??y?t?0?1解：设拉氏变换L[y(t)]?Y(s)，对方程两边取拉氏变换，并考虑到初始条件得
s2Y(s)?1?2sY(s)?3Y(s)?1s?1 解得
?13Y(s)?s?248?1(s?1)(s?1)(s?3)?(s?1)?(s?1)?8(s?3) 去逆变换得
y(t)?L?1[Y(s)]??14L?1[1(s?1)]?31118L?1[(s?1)]?8L?1[(s?3)]??1e?t?3et1
48?8e?3t
四、解答题 (每小题7分, 共21分)
1．设f(z)?x3?y3?i(2x2y2)，试讨论f(z)在何处可导，何处解析．
解：u(x,y)?x3?y3，v(x,y)?2x2y2，
?u?u?v?v??3x2?4x2y?x?3x2,?y??3y2,?x?4xy2,?y?4x2y，于是C-R条件：?,??4xy2?3y2仅当x?y?0和x?y?3334时成立．故f(z)仅在0和4?4i处可导，f(z)在C上处处不
解析．
2．已知调和函数u(x,y)?x2?y2?xy，求其共轭调和函数v(x,y)及解析函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y．)
解：
?v?x???u?y??(?2y?x)?2y?x， v??(2y?x)dx?2xy?12x2?g(y)，
?v?y?2x?g?(y)，又?v?u?y??x?2x?y， word文档 可自由复制编辑
?g?(y)?y,g(y)?122y?c， ?v?2xy?12x2?12y2?c，
?f(z)??x2?y2?xy??i??11??2xy?2x2?2y2?c??
?x2?i(2xy)?y2?i2?x2?2ixy?y2??ic ??x?iy?2?i?i?2(x?iy)2?ic???1?2??z2?ic.
3．将f(z)?1z2?1在z??i处展开成罗朗级数． 解：（1）当0?z?i?2时，
1z2?1?1(z?i)(z?i)?1z?i?1z?i?2i ?1?1z?i?
2i??z?i??1?2i??11??n??2i?z?i???z?i?n?0??2i??
?????(z?i)n?1n?0(2i)n?1， （2）当2?z?i???时，
n f(z)?1z?i?1z?i?1=1???2i???1?2i(z?i)2?n?0??z?i????(2i)nn?2． n?0(z?i)z?i五、证明题 (8分)
设n是自然数，试证：
?2??0ercos?cos(rsin??n?)d??2?n!rn． 证明：令I1??2??0ercoscos(rsin??n?)d?，
I2??2??0ercossin(rsin??n?)d?
则I2?rcos?1?iI2??0e?cos(rsin??n?)?isin(rsin??n?)?d?
??2?0ercos?ei(rsin??n?)d? ??2?er(cos??isin?)0e?in?d?
??2?erei?10?ei??nd?．
令z?ei?，则dz?iei?d?，即d??1iei?dz． iIrz11erz故I1?2?dz?z?en?1z?n?dz ?1izi?1(z?0)112?i?rz?n??2?rn=i?n!???e????． z?0n!比较两边实部和虚部得I1??2?0ercos?sin??n?)d?=2?rn
cos(rn!
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复变函数与积分变换A2012-2013答案--重庆大学
