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《数学分析》――参考答案及评分标准
一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。
1. 求函数f(x,y)?3xsin解： f(x,y)?3131?ysin在点(0,0)处的二次极限与二重极限. yx131?ysin?3x?3y，因此二重极限为0.……(4分) yx1111因为lim3xsin?3ysin与lim3xsin?3ysin均不存在，
x?0yxy?0yx故二次极限均不存在。 ……(9分)
xsin
?y?y(x),?z?xf(x?y),2. 设? 是由方程组?所确定的隐函数,其中f和F分别
?z?z(x)?F(x,y,z)?0dz具有连续的导数和偏导数,求.
dx解： 对两方程分别关于x求偏导:
dy?dz?f(x?y)?xf?(x?y)(?1)， ??dxdx? ……(4分) ?F?Fdy?Fdz?0xyz。 ?dxdx?解此方程组并整理得
dzFy?f(x?y)?xf?(x?y)(Fy?Fx). ……(9分) ?dxFy?xf?(x?y)Fz
3. 取?,?为新自变量及w?w(?,v)为新函数，变换方程
?2z?2z?z???z。 2?x?x?y?xx?yx?y设??,??,w?zey （假设出现的导数皆连续）.
22解：z看成是x,y的复合函数如下：
wx?yx?yz?y,w?w(?,?),??,??。 ……(4分)
e22代人原方程，并将x,y,z变换为?,?,w。整理得：
?2w?2w??2w。 ……(9分)
??2????
4. 要做一个容积为1m3的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省?
解： 设圆桶底面半径为r,高为h,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中
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目标函数: S表?2?rh?2?r2,
约束条件: ?r2h?1。 ……(3分) 构造Lagrange函数：F(r,h,?)?2?rh?2?r2??(?r2h?1)。
?Fr?2?h?4?r?2?rh??0,令 ? ……(6分) 2?Fh?2?r??r??0.14,h?3. 由题意知问题的最小值必存在，当底面半 解得h?2r，故有r?32??径为r?
y3314,高为h?3时，制作圆桶用料最省。 ……(9分) 2???xye?dx,计算F?(y).
25. 设F(y)?y2解：由含参积分的求导公式
?y3y3???x2y2?x2y2?x2y?F(y)???2edx???2?xedx?3yey?y?yx?y3?2ye?x2yx?y2 ……(5分)
???2x2e?xydx?3y2e?y?2ye?y
yy327572?y75?y51y3?x2yedx。 ……(9分) ?ye?ye?222y?y2
?x2y2?xy6. 求曲线?2?2??2所围的面积，其中常数a,b,c?0.
b?c?a?x?a?cos?,解：利用坐标变换? 由于xy?0，则图象在第一三象限，从而可
y?b?sin?.?以利用对称性，只需求第一象限内的面积。
????????,??0???,0???2???ab?sin?cos??。 ……(3分) c2??12则
V?2????(x,y)d?d??2?2d??0?(?,?)??ab?2?2sin?cos???c?0ab?d?a2b2??2?2sin?cos?d?0c
a2b2? ……(9分)22c .
……(6分)
7. 计算曲线积分?3zdx?5xdy?2ydz,其中L是圆柱面x2?y2?1与平面
Lz?y?3的交线（为一椭圆），从z轴的正向看去，是逆时针方向.
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解： 取平面z?y?3上由曲线L所围的部分作为Stokes公式中的曲面?，定向为上侧，则?的法向量为
11?? ?cos?,cos?,cos????0,?,?。 ……(3分)
22??由Stokes公式得
cos?cos???y5xcos??dS ?z?2y ?3zdx?5xdy?2ydz???L???x3z? ?2??dS ……(6分) ?2x2?y2?1??2dxdy
?2? ……(9分)
x2y2z28. 计算积分??yzdzdx,S为椭球2?2?2?1的上半部分的下侧.
abcS解：椭球的参数方程为x?asin?cos?,y?bsin?sin?,z?ccos?，其中
0???2?,0????2,且
?(z,x)?acsin2?sin?。 ……(3分)
?(?,?)积分方向向下，取负号，因此，
??yzdzdx????2??0d??2bac2sin3?cos?sin2?d?02??bac
???2?? ……(6分)
02sin?d??2sin3?cos?d?02?4abc
……(9分)
二. 证明题（共3题，共28分）。
?xy3,?9.（9分） 讨论函数f(x)??x2?y4?0,?x2?y2?0x2?y2?0在原点(0,0)处的连续性、可
偏导性和可微性.
解：连续性：当x2?y2?0时，
xy2x2?y4yyf(x)?2?y????0，当?x,y???0,0?， 424x?yx?y22从而函数在原点?0,0?处连续。 ……(3分)
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f?0??x,0??f?0,0??0，
?x?0?xf?0,0??y??f?0,0??0， fy?0,0??lim?y?0?y可偏导性：fx?0,0??lim即函数在原点?0,0?处可偏导。 ……(5分) 可微性：?x??y?02lim?f?fx?x?fy?y?x??y222?x?y3?lim24?x2??y2?0?x??y1?x??y22 不存在，
从而函数在原点?0,0?处不可微。 ……(9分)
10.（9分） （9分） 设F?x,y?满足： （1）在D???x,y?x?x0?a,y?y0?b上连续，
?（2）F?x0,y0??0，
（3）当x固定时，函数F?x,y?是y的严格单减函数。 试证：存在??0，使得在???x证明：（i）先证隐函数的存在性。
由条件（3）知，F?x0,y?在?y0?b,y0?b?上是y的严格单减函数，而由条件（2）知F?x0,y0??0，从而由函数F?x0,y?的连续性得 F?x0,y0?b??0， F?x0,y0?b??0。
现考虑一元连续函数F?x,y0?b?。由于F?x0,y0?b??0，则必存在?1?0使得
?x?x0??上通过F?x,y??0定义了一个
?函数y?y(x)，且y?y(x)在??上连续。
F?x,y0?b??0， ?x?O(x0,?1)。
同理，则必存在?2?0使得
F?x,y0?b??0， ?x?O(x0,?2)。
取??min(?1,?2)，则在邻域O(x0,?)内同时成立 于是，对邻域O(x0,?)内的任意一点x，都成立
F?x,y0?b??0， F?x,y0?b??0。 ……(3分)
?固定此x，考虑一元连续函数F?x,y?。由上式和函数F?x,y?关于y的连续性可知，存在F?x,y?的零点y??y?b,y?b?使得
F?x,y?＝0。
而F?x,y?关于y严格单减，从而使F?x,y?＝0的y是唯一的。再由x的任意性，
Fx,y0?b?0， Fx,y0?b?0。
00???证明了对??:?O(x0,?)内任意一点，总能从F?x,y??0找到唯一确定的y与x相对应，即存在函数关系f:x?y或y?f(x)。此证明了隐函数的存在性。
……(6分)
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（ii）下证隐函数y?f(x)的连续性。
设x*是??:?O(x0,?)内的任意一点，记y*:?f?x*?。 对任意给定的??0，作两平行线
y?y*??， y?y*??。 由上述证明知
F?x*,y*????0， F?x*,y*????0。 由F?x,y?的连续性，必存在x*的邻域O(x*,?)使得
F?x,y*????0， F?x,y*????0， ?x?O(x*,?)。
对任意的x?O(x*,?)，固定此x并考虑y的函数F?x,y?，它关于y严格单减且
F?x,y*????0， F?x,y*????0。 于是在?y*??,y*???内存在唯一的一个零点y使
F?x,y??0，
即 对任意的x?O(x*,?)，它对应的函数值y满足y?y*??。这证明了函数
y?f(x)是连续的。 ……(9分)
11111.（10分）判断积分??sindx在0???2上是否一致收敛，并给出证明。
0xx证明：此积分在0???2上非一致收敛。证明如下：
1作变量替换x?，则
t11??11sindx??0x?x?1t2??sintdt。 ……(3分)
?3???不论正整数n多么大，当t??A?,A???@?2n??,2n???时，恒有
44??2sint?。 ……(5分)
2因此，
?A??1t2??A?2A??1sintdt?dt ……(7分)
2?A?t2??2?14t2?? ? ?
t?A??2?2??3???4?2n???4??因此原积分在0???2上非一致收敛。 ……(10分) 注：不能用Dirichlet判别法证明原积分是一致收敛的。原因如下：
B1尽管对任意的B?1积分?sintdt一致有界，且函数2??关于x单调，但是当
1t1x???时，2??关于???0,2?并非一致趋于零。事实上，取t?n, 相应地取
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?2??0，当??2?时。 4
专升本数学分析精选三试卷及答案
