基于特征统计分析的快速估产和优化微波结构
Slawomir Koziel，资深会员，IEEE，John W. Bandler，终身会员，IEEE
摘要——本篇文章提出了一种简单而又可靠的方法来快速估计产量和优化微波结构。我们用选取合适特征点的响应曲面模型替代原来分析整体结构响应的方法（比如，用S参数作为频率函数）。一方面，这也足够来判断一个设计是否满足给定的性能指标。另一方面，在可设计结构参数上探索近似线性依赖的特征点，从而实现低计算量的可靠产量估计。通过两个波导滤波器的例子和一个微带线发卡滤波器来验证我们的方法，以及与多次电磁仿真的Monte Carlo分析进行比较，围绕标称设计用统计分析来探索线性响应展开。最后，在这些滤波器上展示了产量率驱动设计优化。
索引术语——设计定中心，电磁场模型，微波元件模型，统计分析，容差设计，产量估计，产量率驱动设计。
I.引言
可靠的微波元件和电路设计有利于制造中的公差和不确定性。在许多案例中，目标元件是一个鲁棒设计，比如，在假定偏差来自几何尺寸或材料参数的情况下，以最大概率制造微波结构满足给定的性能参数（产量率驱动设计或设计定中心[1]-[6]）的标称值。关于这一点，统计分析和产量估计是在设计过程中[7]-[9]必不可少的步骤。
除了在非常简单的案例中，精确的评价微波结构只可以被全波电磁场仿真获得良好的离散化。这不仅是缺乏简化模型的精确度（比如：电路等效），而且缺乏现代复杂结构模型，其中考虑到微波结构和其所在的环境的相互作用 （比如：存储，连接器，就安装固定而言）。不幸的是，精确的、高保真的电磁场仿真计算成本高，因此适用于直接统计分析（比如，涉及多种全波电磁场仿真的Monte Carlo方法）。同时，在计算可行的情况下，广泛使用基于极端值在不同范围的设计参数的结构分析的方法，（最差的实例公差分析[1]），不能够提供有意义的统计数据用于产量估计。
更多涉及的方法，比如，这些利用表面响应近似（RSA）的模型[10]-[12]，或混沌多项式 [13]，在某种程度上降低经典MC方法的难度，但是，他们的优势对于高维设计空间就不存在了。这里基本的瓶颈是快速增长的（有必要建立一个可靠的结构代表数据样品）的数量，（无论是RSA或是多项式模型）以及设计的空间维数。其他的方法（比如[14]）包括使用主成份分析法（PCA）[15]，降低了高维实例的问题复杂度，还有基于替代的方法比如空间映射 [16],[17]或者神经空间映射模型[18],[19]。类空间映射技术通过利用合适并修正过的物理简单模型（比如，电路等效）降低统计分析过程中的计算成本。
本文提供了另一种快速且可靠的统计分析及电磁场仿真微波结构尤其是滤波器的产量估计。这种方法首次在[20]中提出。本文深入分析并且拓展用于产量驱动设计（设计定中心）。
我们方法的本质是基于估计的选取合适的滤波器响应特征模型。被选取的特征用于单一地决定结构是否满足给定性能参数。用少量的训练设计建立估计模型（最终，只有一些相关的电磁场仿真结构对其设置是有必要的），只随着设计空间线性增长。正如用三个滤波器例子全面的说明，我们提出的技术以低的计算量利于可靠的产量估计。同时，与用经典的MC方法直接统计分析做比较。另外，表明我们的基于特征的产量估计方法与在标称设计点处线性展开法在概念上不同之处（后者造成较大的产量低估）。最后，论证使用我们改良后的技术设计低成本的产量驱动的可能性。
II.特征响应法产量估计 本小节，我们采用合适的特征响应公式化产量估计技术。同时提供一些背景信息来解释
2
我们的方法的有效性，具体地说，就基于特征的模型而言，利用提出的统计分析步骤。有关产量驱动设计的应用在第IV小节讨论
A.微波结构的产量估计
我们用R(x)表示一个设备或元件的响应（比如滤波器），比如，电磁场仿真S参数对比频率。其中，x 是可设计的向量（比如，几何或材料）参数。令x???x1x20000?xn? 为
T一个标称设计（考虑到性能参数一个典型的最佳设计）。假设由于制造的不确定性存在，制造设备的实际参数是x0+dx，其中，dx??dx1dx2dxn?表示已给的概率分布（比如零
T均值高斯分布）或者一个均匀分布，比如dxk???dk.max,dk.max?,k?1,定义一个辅助函数H(x)[7]：
,n.
?1,R(x)满足设计参数H(x)??(1)
0,其它?
标称设计x0的产量可以估计为：
，其中，dx,j?1,j?Y(x)?0N0jH(x?dx)j?1N(2)
,N 是根据概率分布的随机向量。显然，式（2）依靠多次电
磁场仿真扰动标称设计可能非常复杂，尤其是因为可靠的产量估计需要大量的样品（典型
的，几百个或者更多）。就少量的产量值而言，样本数还可以更多（几百个或者更多），避免估计的方差大。
B．基于特征点的估计模型
本小节，利用特征点的概念估计产量，[21]中引入保形响应预测（SPRP）。考虑第III 部分的带通滤波器的响应S11（与图1比较）。
图1. 关于极大值性能参数（标记为水平线）的最优设计的带通滤波器的反射响应（—），容差设计的响应（---）。圆圈和方块分别代表两种响应的特征点，-1dB和-20dB水平线处是带通滤波器的最大响应处。设计参数：当10.55～11.45GHz时，S11??20dB，
2
当频率低于10.3GHz或高于11.7GHz时，S11??1dB。
图1绘制了在标称设计时的响应，（比如，用水平线标记设计参数的一个典型极小极大最优设计，其中，当10.55～11.45GHz时，S11??20dB，当频率低于10.3GHz或高于11.7GHz时，S11??1dB。）也可以叫做一系列特征点，在-1dB和-20dB水平线处，也是带通滤波器的峰值。这些特征点的位置能够决定响应是否符合设计参数的要求。特别地，考虑到微小的设计扰动因素，-1dB和-20dB处的特征点可能向低频率或高频率处移动，带通中S11最大值的相关特征点可能移至S11?20处。
特定问题的特征点选取是直接的。图1描述了响应和扰动设计的相对应的特征点（这种情况下，不符合我们参数设计）。
正如参考文献[22]中提到，对全响应来说，模仿特征点比建立响应表面容易。这是因为频率和相关设计参数的特征点位置的依赖性相比S参数作为频率函数非线性的情况少。最终，只有有限的训练样本对建立模型是有必要的，特别地，如果我们只关心局部近似计算（比如，在标称设计附近）。
不像SPRP[21]那种情况，我们不关心微波结构的全响应的精确预测。关注的重点部分是潜在不符合设计的性能指标的响应。这样极大地简化了建模过程。
为了建立模型，在标称设计中，考虑2n?1个原始模型R的赋值情况。R(x) 和在扰动设计中的xk?[x0.10x0.k?sign(k)??kx0.n]T,k??n,k,?1,1,n，其中，?k为标称
值的第k个参数的偏差的最大限度。响应向量R(x)的特征点标记为
jjpkj??fk?rk??,j?1,TK,其中，f和r分别为频率和长度的重要参数，K是所有特征点
的总数。
图2.微分向量dx和和其展开式使用星形分布训练向量x0和xk，k??2,?1,1,2（也
0表示为?）。阴影部分表示为子集Xs的点接近x?dx的区域，也可线性叠加表示为
xk?x0。在x0?dx处的特征点可用系数线性叠加来计算以及R(xk)(xk?Xs)的特征点。
2
jjjjjj其中，p?p0??1(p1?p0)??2(p2?p0)。
为预测关于扰动向量x0?dx的特征点的位置，利用可训练集合
?x;pkj?n,,p?j1,p0j,p1j,,pnj?。对任意给定的dx，基础集合?xk?的子集Xs确定了包
含x0?dx的区域，如图2所示n?2的情况。不失一般性的情况下，假设
Xs??x0,x1,,xn?，定义pj?p0j??1(p1j?p0j)??2(p2j?p0j)?ik0?n(pnj?p0j)(3)
其中，利用向量v?x?x,i?1,表示为[9]??1?2n ，?1,?2,,?n唯一确定了dx。系数?i 可以
?n??[v1v2Tvn]?1?(x?x0) (4)
利用（3）和（4）可以定义特征点的近似模型为
10s(x0?dx)??p(x?dx)?j0j0pK(x0?dx)??(5)
j0T其中，p(x?dx)?[f(x?dx)r(x?dx)],j?1,,K。得到s(x0?dx)，可以
类似（1）和（2）那样估计产量。基本的不同点是设计性能指标频率/水平的是否符合由特征点验证而不仅仅是全响应。
C．线性展开模型的不足之处
利用特征响应进行产量估计而不是建立精确的S参数全响应的线性模型。在标称设计
x0 处进行简单的一阶泰勒展开RL(x)?R(x0)?JR(x0)?(x?x0)(6)
0其中JR(x)是R在标称设计的雅可比估计。给R赋值可得到在扰动设计xk处的估计
具体见II-B。
图3. III-A中的五阶带通滤波器：标称设计时的滤波器响应（—），扰动设计时利用（6）线性模型结构的响应（---）（在选中的参考设计处）。尖峰是急剧响应的线性模型导致产量低估产生的（比较表I）。
表I
产量估计：五阶波导滤波器
2
实例 1 2 3 4
分布
均匀分布
（最大偏移0.01mm） 均匀分布
（最大偏移0.02mm） 高斯分布
（最大偏移0.01mm） 高斯分布
（最大偏移0.02mm）
产量估计方法 特征点模型
Monte Carlo EM仿真
线性模型1 特征点模型
Monte Carlo EM仿真
线性模型1 特征点模型
Monte Carlo EM仿真
线性模型1 特征点模型
Monte Carlo EM仿真
线性模型1 产量估计 0.97 0.97 0.63 0.56 0.55 0.12 0.69 0.69 0.19 0.25 0.34 0.02 CPU消耗2 19 500 19 19 500 19 19 500 19 19 500 19 注：1基于在标称设计处S参数响应的线性模型的估计；2估计消耗在EM的分析。采用N=5000个随机样本基于特征的产量估计。
图3描述了通过赋值线性替代RL预测S参数值，来源于用基于特征的模型赋值相同的训练集合的滤波器响应。精度的缺乏主要是非常尖锐的响应（用作频率函数）反映在低估了产量预测（比较第III部分）。这表明了尽管在相同的数据集上基于特征的产量估计不同于简单的线性模型。
应该说大量复杂的方法用于宏模拟（比如[23]和[24]）或者随机宏模拟（比如[25]和[26]）可以在避免被动执行的简单线性模型（6）响应的异常响应的发生。这里，模型（6）表明仅简单使用基于特征的模型的小数据集合从而导致很差的预测。
III.实例验证
本小节提出的产量估计方法是使用包括两个波导滤波器例子和一个微带线滤波器验证。和MC分析做比较，在第IV部分讨论拓展我们的方法进行产量驱动设计。
图4 五阶波导带通滤波器[27]
A.五阶Chebyshev波导带通滤波器
如图4所示，带有不对称的虹膜X波段波导滤波器[27]。设计的变量是
（～140000四面体，仿真时间大于8分x??z1z2z3d1d2d3t1t2t3?。滤波器用CST仿真[28]，
2
T
收益快速估计和探索基于特征的统计分析优化微波结构教材
