第三篇 动力学
1. 本次课程教学的内容
主要讲述理论力学中有关动力学部分的知识，先总体介绍一下动力学的一些基本概念。在本节中还要研究质点运动的微分方程及其三种表述形式，并就动力学的两类问题举例说明。
2. 学习要求
使学生充分认识动力学的理论依据及其求解方法。要求掌握质点运动微分方程的三种形式及动力学的两类问题。
3. 教学重点、难点
重点是质点运动微分方程的三种形式及动力学的两类问题。难点是有关质点运动微分方程的三种形式的运用。
4. 教学方法
课堂板书讲授。
引 言
一.研究对象：研究物体的机械运动与作用力之间的关系。 二.力学模型：
1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。 例如： 研究卫星的轨道时，卫星 质点； 刚体作平动时， 刚体 质点。
2.质点系：由有限或无限个有着一定联系的质点组成的系统。 刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离不变的质点组成。又称为不变质点系。 自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。 非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。
质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体，弹性体,流体。 三.动力学分类: ?质点动力学
?质点系动力学 质点动力学是质点系动力学的基础。 ?四.动力学的基本问题：大体上可分为两类： 第一类：已知物体的运动情况，求作用力； 第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动
综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。 已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。
第十一章 质点运动微分方程
§11-1 质点运动微分方程的形式
将动力学基本方程 ( m a ? F )表示为微分形式的方程，称为质点的运动微分方程。
1.矢量形式 d2rm?F ( 式中 r?r(t) 为质点矢径形式的运动方程 ) dt22.直角坐标形式 ?d2x ?mdt2?X??x?x(t)2?dy??m2?Y ( 式中 ?y?y(t) 为质点直角坐标形式的运动方程 )?dt?z?z(t)2??dy?m2?Z?dt
3.自然形式 d2sm2?F? dt v2?Fn m(式中s?s(t)为质点的弧坐标形式的运动方程。F?,Fn,Fb分别为力F在自然轴系? 轴, n轴和b轴上的投影)?0?Fb
§11-2 质点动力学两类问题
1. 第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 解题步骤和要点：
①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。 ②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。 ③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。
④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。 ⑤求解未知量。
[例1] 桥式起重机跑车吊挂一重为G的重物，沿水平横梁作匀速运动，速度为v0，重物重心至悬挂点距离为L。突然刹车，重物因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。
解：①选重物(抽象为质点)为研究对象
②受力分析如图所示
③运动分析，沿以O为圆心，L为半径的圆弧摆动。 ④列出自然形式的质点运动微方程
Gdvma???F? , ??Gsin? ?1?gdtGv2man??Fn , ?T?Gcos? ?2?gl⑤求解未知量
v2由?2?式得 T?G(cos??) ,gl 其中?,v为变量.由?1?式知 重物作减速运动 , 因此??0时 , T?TmaxTmax
2v0?G(1?)gl[注] ①减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。 ②拉力Tmax由两部分组成，一部分等于物体重量，称为静拉力
一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。
2.第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题） 已知的作用力可能是常力, 也可能是变力。变力可能是时间、位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。 解题步骤如下：
① 正确选择研究对象。
② 正确进行受力分析，画出受力图。
判断力是什么性质的力（应放在一般位置上进行分析，对变力建立力的表达式）。 ③ 正确进行运动分析。(除应分析质点的运动特征外，还要确定出其运动初始条件)。 ④ 选择并列出适当的质点运动微分方程。 ⑤ 求解未知量。
应根据力的函数形式决定如何积分，并利用运动的初始条件，求出质点的运动。 如力是常量或是时间及速度函数时，可直接分离变量
dv积分dt如力是位置的函数，需进行变量置换
dvdv?v , 再分离变量积分。dtds[例2] 煤矿用填充机进行填充， 为保证充填材料抛到距离为S=5米,H=1.5米的顶板A处。求 (1)充填材料需有多大的初速度v0 ? (2)初速 v0与水平的夹角a0？
解：属于已知力为常量的第二类问题。选择填充材料M为研究对象，受力如图所示，M作斜抛运动。
第十一章质点 运动微分方程
