一元二次方程的概念、解法与根的判别式（讲义）
? 课前预习?
1. 填写下列表格并回忆相关概念：
名称 方程 二元一次方程组 分式方程 不等式 （组） 定义要点 ②整式方程 变形依据 等式的基本性质 求解思路 “转化”成 x=a 的形式 通过 转化为一元一一元一次 ①一元一次 ① 元 次 ②由两个方 程联立而成 分母中含有 用 连接 的基本性质 次方程求解 通过 转化为整式方 的基本性质 的基本性质 程求解，求解后需要检验 类比一元一次方程，转化 为 x ? a 的形式 2. 填空： ①若 x2 ? 4x ? b （b 为常数）是完全平方式，则 b= 为常数），变形后的式子为 为常数），变形后的式子为
． ． 二 三 四 ．
②若把代数式 x2 ? 2x ? 2 化为(x ? m)2 ? k 的形式（其中 m，k ③若把代数式 x2 ? 3x ?1 化为(x ? m)2 ? k 的形式（其中 m，k
3. 回顾因式分解的口诀为：一 ． 将下列各式因式分解：
① 4x2 ? 9 ； ② x2 (2x ? 5) ? 4(5 ? 2x) ；
③ ?8ax2 ?16ax ? 8a ；
④ ?x2 ? 2x ? 3 ；
2
⑤x? 4x ? 3 ；
⑥2x2 ?13x ?15 ．
1
? 知识点睛?
1. 一元二次方程定义：可化成 （ ）
判断一元二次方程的操作流程： ① ； 的 方程．
2.
（ ）是一元二
次方程的 形式，其中 ， ， 分别称为二次
项、一次项和常数项， ， 分别称为二次项系数和
一次项系数． 3.
解一元二次方程的思路是设法将其转化成 来处理．主要解法有： ，
，
， 等．
4.
配方法是配成 公式；公式法的公式是 ； 因式分解法是先把方程化为
的形式，然后把方程左边进行 ，根据
，解出方程的根．
5.
通过分析求根公式，我们发现 决定了根的个数，
因此 被称作根的判别式，用符号记作
． 当 时，方程有两个不相等的实数根（有两个解）；当 时，方程有两个相等的实数根（有一个解）； 当
时，方程没有实数根（无根或无解）．
? 精讲精练?
1. 下列方程：① x2
? 2 x ? 3 ? 0 ；② y 2 ??0 ；③ ax22
? bx ? 5 （a，
b 为常数）；④ 1
x
2 ? x ?1 ? 0 ；⑤ 3x ?1 ? 7 ； ⑥ 2x2 ? 5xy ? y2 ? 0 ．其中为一元二次方程的是 ．
2. 方程2x2 ?1 ? 3x 的二次项是 ，一次项系数是
，
常数项是
．
3. 若关于 x 的方程(m ?1)xm2
?1
? 2x ? 3 ? 0 是一元二次方程，则 m
的值为
．
4. 若方程(m ?1)x2 ? mx ?1 ? 0 是关于 x 的一元二次方程，则 m
的取值范围是（ ）
A．m=0
B．m≠1
C．m≥0 且 m≠1
D．m 为任意实数
2
② ； ③ ． 先化成 ，再找 二次项、一次项和常数项． 解法选择： 若一次项系数为二次项系数的倍，优先选择配方法； 若一次项系数为二次项系数的 倍，或系数中含 等， 优先选择公式法； 若可化简成 的形式， 优先选择因式分解法．
5. 若 x=2 是关于 x 的方程 x2 ? 3x ? a ? 0 的一个根，则 2a-1 的值
是（ A．2 A．x=1 C．x1=1，x2=-9
A．方程有两个不相等的实数根B．方程有两个相等的实数根C．方程没有实数根 D．根的个数与k 的取值有关
8. 如果关于 x 的方程 x2 ? 2x ? m ? 0 （m 为常数）有两个相等的
实数根，那么 m= 整数值是
．
（2） x2 ? x ?1 ? 0 ； ．
9. 若一元二次方程?x2 ? 2x(kx ? 4) ? 6 ? 0 无实数根，则 k 的最小10. 用配方法解方程：
（1） x2 ? 2x ?1 ? 0 ； 解： x2 ? 2x ???， x2 ? 2x ???? 1???， ( 即 ∴ x1 ?
， x2 ??
（4） 4x2 ? 8x ?1 ? 0 ；
)2 ???， = ， ）
B．-2
C．3
）
B．x=21 D．x1=-1，x2=9
） D．-3
6. 一元二次方程(x ? 4)2 ? 25 的根为（
7. 关于 x 的方程 x2 ? kx ?1 ? 0 的根的情况是（
?
（3） 3x2 ? 9x ? 2 ? 0 ；
3
（5） ax2 ? bx ? c ? 0 （a≠0）．
11. 用公式法解方程：
（1） x2 ? 3x ?10 ? 0 ； 解：a=
，b=
，c=
，
∵b2 ? 4ac ?
= ＞0
∴ x ????= ∴ x1 ?
， x2 ??
（3）16x2 ? 8x ? 3 ；
12. 用因式分解法解方程：
（1） x(5x ? 4) ? 5x ? 4 ； 解： (5x ? 4)( ) ? 0，
=0 或 =0，
∴ x1 ?
， x2 ??
4
2） 2x2 ? 7x ? 9 ? 0 ；
4） ?3x2 ? 5x ? ?2 ．
2） (x ? 1)(x ? 8) ? ?12 ；（（（
（3） (x ? 2)2 ? (2x ? 3)2 ； （4） x2 ? 2 3x ? 9 ；
（5） kx2 ? (2k ?1)x ? k ?1 ? 0 （k≠0）．
13. 选择合适的方法解下列一元二次方程：
（1） 2x2 ? 7x ? 3 ? 0 ；
（2） x2 ? 6x ? 9 991 ? 0 ；
（3） x2 ? 5x ? 5 ? 0 ；
（4） 2x2 ? 4 3x ? 3 ? 0 ；
（5） x2 ? 35x ? 300 ? 0 ； （6） x2 ?106x ?105 ? 0 ．
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一元二次方程概念、解法与根的判别式(讲义及答案)(1)
