中考数学重难点专题讲座
第四讲 一元二次方程与二次函数
【前言】
前三讲，笔者主要是和大家探讨中考中的几何综合问题，在这一类问题当中，尤以第三 讲涉及的动态几何问题最为艰难。 几何问题的难点在于想象， 构造，往往有时候一条辅助线 没有想到，整个一道题就卡壳了。 相比几何综合题来说， 代数综合题倒不需要太多巧妙的方 法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。 是以一元二次方程与二次函数为主体，
中考数学当中，代数问题往往
所以在接下来的
多种其他知识点辅助的形式出现的。
专题当中，我们将对代数综合问题进行仔细的探讨和分析。
一元二次方程与二次函数问题当中， 纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方 式考察。但是在后面的中难档大题当中，
通常会和根的判别式， 整数根和抛物线等知识点结
合，所以我们继续通过真题来看看此类问题的一般解法。
第一部分真题精讲
【例1】2010，西城，一模
已知：关于 x的方程 mx2 -3(m -1)x 2m -3=0 . ⑴求证：m取任何实数时，方程总有实数根；
⑵若二次函数 yi =mx2 -3(m -1)x - 2m -1的图象关于 月轴对称. ① 求二次函数％的解析式；
② 已知一次函数y2 =2x-2，证明：在实数范围内，对于 对应的函数值％ > y2均成立；
⑶在⑵条件下，若二次函数 y^ax2 bx c的图象经过点(-5 , 0)，且在实数范围内， 对于的同一个
x
x的同一个值，这两个函数所
值，这三个函数所对应的函数值
2
yi > y > y2，均成立，求二次函数
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y3二ax bx c的解析式.
【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题， 这是比较常见的关于一元二次方
M=0
程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论 和M工0两种情况，然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于 次函数的性质，即一次项系数为
Y轴对称的二
0,然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数，证明因
y2恰好是抛物线y的一条切线，只
变量的大小关系，直接相减即可。事实上这个一次函数
有一个公共点(1 , 0)。根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。 于是通过代点，将y3用只含a的表达式表示出来，再利用y > y3 > y2,构建两个不等式，最终分 析出a为何值时不等式取等号，于是可以得出结果?
【解析】
解：(1)分两种情况：
当m =0时，原方程化为3x 一3 =0，解得x =1 ,(不要遗漏) 当m =0，原方程有实数根?
当m^O时，原方程为关于的一元二次方程，
x
人
2 2 2
???△=[-3(m-1 ] —4m(2m—3)=m —6m+9=(m — 3) > 0 .
二原方程有两个实数根?(如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判 定，让判别式小于0就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式， 家注意就是了)
综上所述，m取任何实数时，方程总有实数根 .
(2) ①???关于x的二次函数y1 = mx2 - 3(m-1)x ? 2m - 3的图象关于y轴对称，
大
??? 3(m-1) =0.(关于Y轴对称的二次函数一次项系数一定为
m =1.
0)
??抛物线的解析式为y_, =x2 -1.
2 2
②??? y1 -y2 =x2 —1 —(2x —2 )=(x—1 ) > 0 ,(判断大小直接做差)
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?- y1 > y2 (当且仅当x =1时，等号成立).
(3) 由②知，当x=1时，y^y^0. 二yi、y2的图象都经过1,0 .
T对于x的同一个值，yi > y3 > y2 ,
(很重要，要对那个等号有敏锐的感觉)
y3 = ax2 bx c的图象必经过1,0 . 又 T y3 二ax2 bx c 经过-5,0 ,
2
??? y^a x -1 x ? 5产ax
2
4ax _5a .(巧妙的将表达式化成两点式，避免繁琐计算)
Q
设 y = y3 - y2 = ax 4ax -5a - (2x - 2) = ax2
T对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值
(4a - 2)x (2 - 5a).
yi > y3 > y2均成立，
???『3 _y2 > 0 ,
? 2
… y =ax
(4a _2)x (2 -5a) > 0 .
又根据yi、y2的图象可得 a 0 ,
2
二
4a(25a)(4a2 ---)》0.(a>0时，顶点纵坐标就是函数的最小值)
4a
?- (4a -2)2 — 4a(2 — 5a) < 0 .
? (3a -1)2 w 0.
而(3a -1)2 > 0.
1 只有3a -1二0，解得a二丄.
3
??抛物线的解析式为 y3
1 o 4 x2.
5
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3
【例2】2010，门头沟，一模
3 3
关于 x 的一元二次方程(m2 _1)x2 _2(m _2)x ? 1 = 0. （1） 当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2） 点A：；厂1 J是抛物线y =（m2 -1）x2 -2（m -2）x 1上的点，求抛物线的解析式； （3） 在（2）的条件下，若点B与点A关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只 交于点B的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由
【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。
第二问给点求解析
式，比较简单。值得关注的是第三问，要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点，则 需要设直线y=kx+b以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还 不够，因为y=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于
x轴的直线，恰恰这种直线也是和抛
物线仅有一个交点，所以需要分情况讨论，不要遗漏任何一种可能.
【解析】：
（1） 由题意得丄-丨-2（ m -2）：…4（m2 -1） ? 0
5
解得m :::-
4
m2 -1 =0
解得m -1
5
当m 且m杠二1时，方程有两个不相等的实数根
4 （2） 由题意得 m -1，2（m-2） V 二-1
解得m = ~3, m =1 （舍）（始终牢记二次项系数不为 0） y =8x2
10x 1
5
（3） 抛物线的对称轴是
f 1
由题意得B --，-1
k 4 丿
1 x 4
与抛物线有且只有一个交点
8 ）
（关于对称轴对称的点的性质要掌握
）
B （这种情况考试中容易遗漏）
另设过点B的直线^kx b（ k =0）
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r 1 ] k
把 B . —，_1 代入 y =kx +b，得 __ +b = _1
\\_ 4 J 4 ynkx1 k1
4
- 2
1 b =_ k _1 '4
y =8x 10x 1
( 1
y =kx k -1
4
1
整理得 8x (10_k)x k 2 =0
4
2 1
有且只有一个交点， .l=(10-k) -4 8 ( k?2)=0
4
解得k =6 1
y =6x 亠_
2
综上，与抛物线有且只有一个交点
B的直线的解析式有 x^-1 , y =6x ? 1
4
2
【例3】
已知p（ -3, m）和Q（1， m ）是抛物线目二2x2 bx 1上的两点. （1） 求b的值；
（2） 判断关于x的一元二次方程2x2 bx 1=0是否有实数根，若有，求出它的实数 根；若没有，请说明理由；
（3） 将抛物线y =2x2 ? bx ? 1的图象向上平移 k （ k是正整数）个单位，使平移后的 图象与x轴无交点，求k的最小值.
【思路分析】 拿到题目，很多同学不假思索就直接开始代点，然后建立二元方程组， 十分麻烦，计算量大，浪费时间并且可能出错。但是仔细看题，发现 的，说明他们关于抛物线的对称轴对称。
P，Q纵坐标是一样
而抛物线只有一个未知系数，所以轻松写出对称轴
求出bo第二问依然是判别式问题，比较简单。第三问考平移，也是这类问题的一个热点， 在其他区县的模拟题中也有类似的考察。
考生一定要把握平移后解析式发生的变化，
即左加
右减（单独的x）,上加下减（表达式整体）然后求出结果。
【解析】
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中考数学重难点专题讲座第四讲一元二次方程与二次函数(含答案)(1)
