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2018 年浙江专升本高数考试真题答案
一、选择题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。
sin x , x ? 0 ??
，则 f (x) 在(?1,1) 内（ C ） 1、设 f (x) ? ? x
, x ? 0 ?? x
A、有可去间断点
x?0?
?B、连续点
x?0?
?C、有跳跃间断点
解析： lim f (x) ? lim x ? 0, lim f (x) ? lim
x?0?
?
sin x x
D、有第二间断点
? 1
x?0
?
??lim f (x) ? lim f (x) ，但是又存在，? x ? 0 是跳跃间断点
x?0??
x?0??
2、当 x ? 0 时， sin x ? x cos x 是 x2 的（ D ）无穷小 A、低阶 解析： lim
B、等阶
C、同阶
D、高阶
cos x ? cos x ? x sin x sin x sin x ? x cos x
? lim ? lim ? 0 ? 高阶无穷小 x?0 x?0 2 x?0 x2 2x
0
0
x? x0
3、设 f (x) 二阶可导，在 x ? x 处 f ? (x ) ? 0 ， lim f (x) ? 0 ，则 f (x) 在 x ? x 处（
x ? x0
0
B ）
A、取得极小值
B、取得极大值 C、不是极值
D、x 0, f (x 0) 是拐点
??
f (x) ? 0,? f ?(x ) ? lim f (x) ? f (x0 ) ，则其 f ?(x ) ? 0, f (x ) ? 0 ，
解析：? lim
0 0
0 x? x0 x ? x x ? x x? x 000
x0 为驻点，又? f ? (x0 ) ? 0? x ? x0 是极大值点。
4、已知 f (x) 在?a, b?上连续，则下列说法不正确的是（ B ） A、已知 f 2 (x)dx ? 0 ，则在?a, b?上， f (x) ? 0
??
a
b
B、
d 2 x
? dx x
f (t)dt
??
f (2x) ? f (x) ，其中 x,2x ??a, b??
C、 f (a) ? f (b) ? 0 ，则?a, b?内有使得 f () ? 0
D、 y ??f (x) 在?a, b?上有最大值 M 和最小值 m ，则 m(b ? a) ??? f (x)dx ? M (b ? a)
a
b
解析：A.由定积分几何意义可知， f (x) ? 0 ， f 2 (x)dx 为 f 2 (x) 在?a, b?上与 x 轴围成
2
??
a
b
的 面 积 ， 该 面 积 为 0 ??f 2 (x) ? 0 ， 事 实 上 若
f (x) 满 足
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? 连续 ??
? 非负 ? f (x) ? 0(a ? x ? b) ?b f (x)dx ? 0 ? ?a d 2 x B. f (x)dx ? 2 f (2x) ? f (x) ?xdx
C. 有零点定理知结论正确
D. 由积分估值定理可知， x ??a, b?， m ??f (x) ? M ，
b
b
b
b
?
则 mdx ?
a
??
a
f (x)dx ? ?a Mdx ? m(b ? a) ? ?a f (x)dx ? M (b ? a)
? (?1)n?1
?
5、下列级数绝对收敛的是（ C ） A、
??n?1
? (?1)n?1
n ?1
B、? ln(n ?1)
n?1
C、
??n?1
cos n n ? 9
3
D、
??n
n?1
? 1
1 ? 1 1 解析：A. lim n ?1 ? 1，由? 发散? 发散
n?? 1 n ?1 n?1 n
n
B. lim 11 ??1??
发散 ? lim ln(1? n) ? lim ? 0 ，由? 发散? ? n???n?? 1 n?? 1? n n n?1 ln(1? n) n?1 n
ln(1? n)
1 n
cos n C.
收敛
?
? ，而lim n ? 9 =1，由??3 收敛? 收敛??cos n
22n?? 1 n?1 2 n2 ? 9 n2 ? 9 n ? 9 n ? 9 n
2
1
1
? 1 1
n
1
3
2
D.
? n 发散
n?1
1 x
二、填空题
6、lim(1? a sin x) ? ea
x?0
1 x
1
ln(1?a sin x)
lim
ln(1?a sin x)
1
?a cos x
1?a sin x lim
解析： lim(1? a sin x) ? lim e x
x?0
x?0
? ex?0
x
? ex?0
1
? ea
7、lim
x?0
f (3) ? f (3 ? 2x)
sin x
x?0
3
? 3 ，则 f ?(3) ? 2 解析： lim f (3) ? f (3 ? 2x) f (3 ? 2x) ? f (3)
? 2 lim ? 2 f ?(3) ? 3x?0 sin x ? 2x
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8、若常数 a, b 使得lim sin x (cos x ? b) ? 5 ，则b ? ? 9
e? a
解析： lim sin x (cos x ? b) ? lim x(cos x ? b) ? 5
x?0 x?0 e2 x ? a e2x ? a
x?0 2 x
所以根据洛必达法则可知：1? a ? 0, a ? 1
x(cos x ? b) cos x ? b 1? b
lim ? lim ? x?0 x?0 2x 2 2 1? b
? 5, b ? ?9 2
? x ? ln(1? t) dy 9、设? ，则 t ?1 ?1
y ? t ? arctan t dx ??
1 dy dy 1??t 2 (1? t) 2dy ，解析： ??dt 1? t ? t ?1 ?1 1? t 2 1 dx dx dx dt 1? t d 2 y ?y2 ? x2
10、 y ??f (x) 是 x ? y ?1 ? 0 所确定的隐函数，则 2?
y3 dx
2
2
解析：方程两边同时求导，得： 2x ? 2 yy? ? 0 ， y? ? ，
x
y
方程2x ? 2 yy? ? 0 同时求导，得：1? ( y?)2 ? yy? ? 0 ，将 y? ? 带入，
x
y
x 2 1 x2 ?y2 ? x2 d 2 y
则得，1? ( )? yy??? 0 ， 2? y? ??? 3?
y y y dx y3
x
的单增区间是(?1,1) 11、求 y ??
1? x2 1? x2 ? 2x2 1? x2
? 解析： y? ??
(1? x2 )2 (1? x2 )2
令 y? ? 0 ，则 x2 ? 1 ， ?1 ? x ? 1
1 k ? C ，则lim ??? f ( ) ??12、求已知 ? f (x)dx ? e n?? n k ?0 n
x2
n?1
2
n?1
e ?1 1 1 1 k x 1
解析： lim ? ? f ( ) ? ?f (x)dx ??f (x)dx ? (e ? C) 0 ? e ?1
0 0 n?? n k ?0n
???
13、
e
??
dx ? 1
x(ln x)
2
1
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2018年浙江专升本高等数学真题(可编辑修改word版)
