专题1:抛物线中的等腰三角形
基本题型:已知AB,抛物线y?ax2?bx?c?a?0?,点P在抛物线上(或
坐标轴上,或抛物线的对称轴上),若?ABP为等腰三角形,求点P坐标。
分两大类进行讨论:
(1)AB为底时(即PA?PB):点P在AB的垂直平分线上。
利用中点公式求出AB的中点M;
利用两点的斜率公式求出kAB,因为两直线垂直斜率乘积为
?1,进而求出AB的垂直平分线的斜率k;
利用中点M与斜率k求出AB的垂直平分线的解析式; 将AB的垂直平分线的解析式与抛物线(或坐标轴,或抛物线的对称轴)的解析式联立即可求出点P坐标。
(2)AB为腰时,分两类讨论:
①以?A为顶角时(即AP?AB):点P在以A为圆心以AB为半径的圆上。
②以?B为顶角时(即BP?BA):点P在以B为圆心以AB为半径的圆上。
利用圆的一般方程列出A(或B)的方程,与抛物线(或坐标轴,
或抛物线的对称轴)的解析式联立即可求出点P坐标。
专题2:抛物线中的直角三角形
基本题型:已知AB,抛物线y?ax2?bx?c?a?0?,点P在抛物线上(或
坐标轴上,或抛物线的对称轴上),若?ABP为直角三角形,求点P坐标。
分两大类进行讨论:
(1)AB为斜边时(即PA?PB):点P在以AB为直径的圆周上。
利用中点公式求出AB的中点M;
利用圆的一般方程列出M的方程,与抛物线(或坐标轴,或抛物线的对称 轴)的解析式联立即可求出点P坐标。 (2)AB为直角边时,分两类讨论:
①以?A为直角时(即AP?AB): ②以?B为直角时(即BP?BA):
利用两点的斜率公式求出kAB,因为两直线垂直斜率乘积为?1,进而求出PA (或PB)的斜率k;进而求出PA(或PB)的解析式;
将PA(或PB)的解析式与抛物线(或坐标轴,或抛物线的对称轴)的解析式联立即可求出点P坐标。 所需知识点:
一、 两点之间距离公式:
已知两点P?x1,y1?,Q?x2,y2?,
则由勾股定理可得:PQ??x1?x2?2??y1?y2?2。
二、 圆的方程:
点P?x,y?在⊙M上,⊙M中的圆心M为?a,b?,半径为R。 则PM??x?a?2??y?b?2?R,得到方程☆:?x?a?2??y?b?2?R2。 ∴P在☆的图象上,即☆为⊙M的方程。
三、 中点公式:
四、 已知两点P?x1,y1?,Q?x2,y2?,则线段PQ的中点
M为
?x1?x2y1?y2?,??。
2??2五、 任意两点的斜率公式:
已知两点P?x1,y1?,Q?x2,y2?,则直线PQ的斜率: kPQ?y1?y2。 x1?x2中考压轴题专题3:抛物线中的四边形
基本题型:一、已知AB,抛物线y?ax2?bx?c?a?0?,点P在抛物线
上(或坐标轴上,或抛物线的对称轴上),若四边形ABPQ为平行四边形,求点P坐标。
分两大类进行讨论:
(1)AB为边时 (2)AB为对角线时
二、已知AB,抛物线y?ax2?bx?c?a?0?,点P在抛物线上(或坐标轴上,或抛物线的对称轴上),若四边形ABPQ为距形,求点P坐标。
在四边形ABPQ为平行四边形的基础上,运用以下两种方法进行讨论:
(1)邻边互相垂直 (2)对角线相等
三、已知AB,抛物线y?ax2?bx?c?a?0?,点P在抛物线上(或坐标轴上,或抛物线的对称轴上),若四边形ABPQ为菱形,求点P坐标。
在四边形ABPQ为平行四边形的基础上,运用以下两种方法进行讨论:
(1)邻边相等 (2)对角线互相垂直
四、已知AB,抛物线y?ax2?bx?c?a?0?,点P在抛物线上(或坐标轴上,或抛物线的对称轴上),若四边形ABPQ为正方形,求点P坐标。
在四边形ABPQ为矩形的基础上,运用以下两种方法进行讨
论:
(1)邻边相等 (2)对角线互相垂直
在四边形ABPQ为菱形的基础上,运用以下两种方法进行讨
论:
(1)邻边互相垂直 (2)对角线相等
五、已知AB,抛物线y?ax2?bx?c?a?0?,点P在抛物线上(或坐标轴上,或抛物线的对称轴上),若四边形ABPQ为梯形,求点
P坐标。
分三大类进行讨论:
(1)AB为底时 (2)AB为腰时 (3)AB为对角线时 典型例题:典型例题:
例1(08深圳中考题)、如图9,在平面直角坐标系中,二次函数
y?ax2?bx?c(a?0)的图象的顶点为D点,与y轴交于C点,与