2024-2024学年八年级下学期数学练习题及答案
29．（5分）如图1，点A（a，b）在平面直角坐标系xOy中，点A到坐标轴的垂线段AB，AC与坐标轴围成矩形OBAC，当这个矩形的一组邻边长的和与积相等时，点A称作“垂点”，矩形称作“垂点矩形”．
（1）在点P（1，2），Q（2，﹣2），N（
，﹣1）中，是“垂点”的点为 Q ；
；
（2）点 M（﹣4，m）是第三象限的“垂点”，直接写出m的值 ﹣（3）如果“垂点矩形”的面积是点”的坐标 （﹣4，
）或（﹣
，且“垂点”位于第二象限，写出满足条件的“垂，4）， ；
（4）如图2，平面直角坐标系的原点O是正方形DEFG的对角线的交点，当正方形DEFG的边上存在“垂点”时，GE的最小值为 8 ．
【分析】（1）根据“垂点”的意义直接判断即可得出结论； （2）根据“垂点”的意义建立方程即可得出结论；
（3）根据“垂点”的意义和矩形的面积建立方程即可得出结论；
（4）先确定出直线EF的解析式，利用“垂点”的意义建立方程，利用非负性即可确定出m的范围，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵P（1，2）， ∴1+2＝3，1×2＝2， ∵2≠3，
∴点P不是“垂点”， ∵Q（2，﹣2）， ∴2+2＝4，2×2＝4，
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∴Q是“垂点”． ∵N（，﹣1）， ∴+1＝
，×1＝
，
∵
，
∴点N不是“垂点”， 故答案为：Q；
（2）∵点 M（﹣4，m）是第三象限的“垂点”， ∴4+（﹣m）＝4×（﹣m）， ∴m＝﹣
，
故答案为：﹣；
（3）设“垂点”的坐标为（a，b）， ∴﹣a+b＝﹣ab， ∵“垂点矩形”的面积为，
∴﹣ab＝
．
即：﹣a+b＝﹣ab＝， 解得，a＝﹣4，b＝
或a＝﹣
，b＝4， ∴“垂点”的坐标为（﹣4，）或（﹣，4），
故答案为：（﹣4，）或（﹣
，4），
（4）解：设点E（m，0）（m＞0）， ∵四边形EFGH是正方形，
∴F（0，m），y＝﹣x+m．设边EF上的“垂点”的坐标为（a，﹣∴a+（﹣a+m）＝a（﹣a+m） ∴a2﹣am＝﹣m，
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a+m），
∴（a﹣
）2＝
≥0，
∴m2﹣4m＝m（m﹣4）≥0， ∵m＞0， ∴m﹣4≥0， ∴m≥4，
∴m的最小值为4， ∴EG的最小值为2m＝8， 故答案为8．
【点评】此题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的面积公式，理解新定义和应用新定义的能力，解本题的关键是用方程的思想解决问题．
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2024-2024学年八年级下学期数学练习题及答案 (28)
