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第19章习题详解
19-1波长589.3nm的单色平行光垂直照射一单缝，单缝后透镜焦距为100cm，测得第一级暗纹到中央明纹中心距离为1.0mm。求单缝的宽度？ 解:根据单缝衍射的暗纹计算式得,第一级暗纹满足 因为
asin???
?=a,所以有??tg??sin?可得
第一级暗纹满足
x1??f??f?af589.3?10?6?1000??0.589mm 故单缝的宽度为 a?x11
19-2单缝宽0.10mm，透镜焦距为50cm，用500nm的绿光垂直照射单缝。（1）求屏上中央明纹的宽度和半角宽度？（2）将此装置浸入水中，则中央明纹半角宽度又是多少？ 解:（1）单缝衍射的中央明纹的宽度就是?1级暗纹的中心间距
2?500?10?6mm故有中央明纹的宽度 ?x?2ftg??2f??500?5mm
a0.10mm?500?10?6半角宽度为 ?1???5?10?3rad
a0.10? （2）水中的波长为?n??n
??? 则水中的半角宽度为
?na??na??1n?0.005?3.75?10?3rad 4319-3一单色平行光垂直照射于一单缝，若其第三条明纹位置正好和波长为600nm的单色光垂直入射时的第二级明纹的位置一样，求前一种单色光的波长。 解 ：根据单缝衍射的明纹计算式asin??(2k?1)?2 有
第三级明纹满足 asin?3?(2?3?1)?12
第二级明纹满足 asin?2?(2?2?1)
?22
75???2 1 两明纹重合，则?2??3即 22只供学习与交流
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得 ?1?55?600?2??428.6nm 7719-4 一双缝间距d=0.10mm，每个缝宽为a=0.02mm。用波长λ=480nm平行单色光垂直入
射双缝，在缝后放置焦距为f=50cm透镜。试求（1）透镜焦平面屏上干涉明条纹间距？（2）单缝衍射中央亮纹宽度？（3）单缝衍射中央明纹范围内可以看到干涉主极大的数目？
解：解 （1）干涉明条纹间隔
?x?f(tan?k?1?tan?k)?f(sin?k?1?sin?k)k?1kf??f(???)? ddd?2.4?10?3m （2）单缝衍射中央明纹宽度为
?x0? （3）单缝衍射第一级暗纹为
2fλ?2.4?10?2m aasinθ?λ
双缝干涉的第k级明纹为
dsinθ?kλ
因此
k?d/a?5
又k=5满足缺级条件，实际上观察不到。因此在单缝衍射中央明纹范围内可以看到干涉主极大的级次为：0,?1,?2,?3,?4，一共9条明纹。
19-5一平行单色光垂直照射到a=0.6mm的单缝上，缝后会聚透镜的焦距f=40mm，在屏上观察到离中央明纹中心1.4 mm处的P点为一明条纹。求：（1）入射光的波长；（2）P点条纹的级数；（3）从P点看狭缝处的波阵面可分为几个半波带？
解：此题用半波带法分析，P点处为明条纹，则狭缝处的狭缝处的波阵面应分成奇数个半拨带，即 asin??(2k?1)在可见光范围内，推算能满足上式的k值和?值。 设屏幕上P点距中央明纹中心为x
则 x?ftg??fsin? 代入上式得 a?2
x?1?(2k?1)?(k?)? f22ax10.6?10?3?1.4?10?31??? 所以 k??2f?2240?10?? 而可见光的范围为 ??4000?10?40~7600?10?10m
求得对应k值范围是 2.3~4.75 因为k只能取整数，所以k=3或k=4.
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当 k=3时，得?3?6000?(红光)，对应从P点看狭缝处的波阵面可分为2k+1=7
个半波带，
当k=4,得?4?4667 ?（蓝光），对应从P点看狭缝处的波阵面可分为2k+1=9个半
波带
19-6用一橙黄色(波长范围6000?～6500?)平行光垂直照射到宽度为a=0.6mm的单缝上，在缝后放置一个焦距f=40cm的凸透镜，则在屏幕上形成衍射条纹，若屏上离中央明条纹中心为1.40mm的P处为一明条纹，试求：
(1)入射光的波长 (2)中央明条纹的角宽度，线宽度 (3)第一级明纹所对应的衍射角 解: (1)由明纹条件 asin??(2k?1)?2
(2k?1)?(2k?1)?? (k=1,2,3,···) 2a2a得 ??arcsin 第k级明纹在屏上的位置
xk?ftan??f??(2k?1)f? 2a2axk??而 (2k?1)f ,
设λ1=6000?, λ2=6500? 由λ1 ≤ λ ≤ λ2 即
?1?2axk??2 (2k?1)faxk1axk1??k?? ,
得 f?f?1222代入数据 a=0.6mm , xk=1.40mm , f =400mm和λ1,λ2
得 2.73≤ k ≤ 3 ∴ k = 3
而 ?? ?6000A
o2axk2?0.6?1.40??6.00?10?4mm(2k?1)f(2?3?1)?400
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(2) 第一级暗纹的衍射角即中央明纹的半角宽度 ?1??a ,
而角宽度为 ???2 ?1?2??0.002 rad a线宽度为
?x?f ???0.8mm
?(3) 由明纹条件 asin??(2k?1)2和k?1 得 sin??3? 2a? ??3??1.5?10?3(rad) 2a－
19-7一衍射光栅，每厘米有200条透光缝，每条透光缝宽为2×103cm，在光栅后放一焦距为1m的凸透镜，现以波长为600nm的平行单色光垂直照射光栅。求（1）透光缝的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？ 600?10?6mm解：（1）单缝衍射中央明条纹宽度为?x?2f?2??1000?60mm
a2?10?2mm （2）根据光栅方程 dsin??k? （干涉主极大） 及 asin??k?? （单缝衍射极小）
? 两式相比有 当k??1时，k?dk? ak?d?2.5 a 所以，单缝衍射主极大内有0、?1,?2共5级主极大。
19-8平行单色光波长为500nm，垂直入射到每毫米200条刻痕的透射光栅上，光栅后面放置一个焦距为60cm的透镜。求（1）中央明纹与第一级明纹的间隔？（2）当入射光与光栅法线成30o斜入射时，中央明纹中心移动多少距离？ 解;(1)根据明纹公式 dsin??k?
500?10?6?600?60mm 中央明纹与第一级明纹的间隔为 x1?f?1d200? (2)斜入射时满足光栅方程 d(sin??sin?)?k?
??对于中央明纹有k=0, 故d(sin30?sin?0)?0 得?0?30
对应接收屏上的位移为
?x?ftg30?tg30?600?35cm
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19-9波长范围为400~700nm 的白光垂直照射在光栅常数为2?10mm的光栅上,实验测得位于透镜后焦面的屏上的光栅衍射第一级光谱的宽度约为56.5mm,问透镜的焦距约为多少?
解:由光栅方程式可得波长范围为400~700nm的第一级谱线的衍射角分别为
?34?10?4??arcsin?11.54 ??arcsin ?3a?b2?10?7.6?10?4?arcsin?22.33? ???arcsin?3a?b2?10??第一级光谱衍射角的范围 ????????22.33??11.54??0.1883(rad) 由?x?f???可的，透镜L的焦距 f??x56.5??0.3(m) ??0.188319-10 在通常亮度情况下，人眼瞳孔的直径约为3mm，求人眼的最小分辨角？如果在黑板上画两根相距1cm的平行直线，问在距离黑板多远处恰好能够分辨这两根直线？
解：（1）D=3mm，在可见光中，人眼对5500?的黄绿光最敏感，将该波长值代入，得人眼最小分辨角为
θminλ5.5?10?7?1.22?1.22?2.2?10?4rad ?3D3?10（2）设平行线间距为l，人到黑板距离为x，两平行线对人眼所张角为β，β若刚好分辨，则有β?l/x
?θmin，所以
x?lθmin1?10?2??45.5m ?42.2?10
19-11为了使望远镜能分辨角间距为3.00×10-7rad的两颗星，其物镜的直径至少应多大？（可见光中心波长为550nm）
解:此题的分析思路与上题相同,根据瑞利判据有
??3.00?10?7?1.22?D
1.22?550?10?6?2237mm?2.24m 由此,可得物镜的直径应满足 D?3.00?10?719-12一束X射线含有0.095nm到0.13nm范围的各种波长，以掠射角45o入射到晶体上。已知晶格常数为0.275nm。求该晶体对哪些波长的X射线产生强反射？ 解:根据布拉格公式 2dsin??k?
2dsin?2?0.275?sin45?0.3889?? ?? kkk只供学习与交流
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通过计算可知 当k=3时 ??0.126nm 当k=4时 ??0.097nm
K为其它值时,不能得到0.095~0.13nm范围内的波长.故该晶体能对0.126nm,0.097nm的两种波长的X射线产生强反射。
19-13 ?=0.5?m的单色光垂直入射到光栅上，测得第三级主极大的衍射角为30°，且第一个缺级出现在第4级主极大。求：（1）光栅常数d；（2）透光缝宽度a；（3）对上述a、d屏幕上可能出现的谱线数目是多少？ 解：（1）由光栅方程 dsinθ=kλ，式中θ=30°，k=3，λ=0.5μm，代入得光栅常数d?3μm （2）根据缺极条件，依题意，有
dk??4，所以缝宽 a?d/4?0.75μm ak'（3）k?dsinθ/λ?d/λ 即k?6
其中?4级缺级，?6级出现在衍射角为90°处，实际上是看不到的。因此在屏幕
上出现的谱线为0,?1,?2,?3,?5共9条。
19-14在氢和氘混合气体的发射光谱中，波长为656nm的红色谱线是双线，其波长差为1.8?。为能在光栅的第二级光谱中分辨它们，光栅的刻线数至少需要多少？ 解:对于第二级主极大 dsin??2? 因?较小,则 d??2?,
对应的有 d???2?? 即 ???2?? d 光栅衍射的主极大的条纹宽度均相同,它们的半角宽度为 dsin?0? 即 d?0??N
?N ?0??Nd 根据瑞利判据,要将波长差为1.8?的两个光谱在第二级分辨开来,必须满足 故有
????0
2??? ?dNd?656?10?6??1822 解得 N??72??2?1.8?1019-15 一束波长为λ=500nm的平行单色光垂直照射在一个单缝上，单缝的宽度为a=0.5mm，缝后紧挨着的薄透镜焦距为f=1m。求：（1）中央明纹的角宽度？（2）中央明纹的线宽度？（3）第一级与第二级暗纹之间的距离？（4）如果在屏幕上离中央亮纹中心为3.5mm处的P点为一亮纹，试求P处亮纹的级数？（5）从P处看，对该光波而言，狭缝处的波阵面可分割成几个半波带？ 解 （1）中央明纹的角宽度：
?θ0?2λ0.5μm?2??2?10?3rad 3a0.5?10μm（2）中央明纹的线宽度：
?x0?f?θ0?2?10?3m?2mm
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（3）第一级暗纹与第二级暗纹之间的距离
?x21?f(（4）由明纹公式
2λλ?)?1?(2?10?3?1?10?3)m?1mm aaasinθ?(2k?1)λ 2以及明纹坐标
x?ftgθ?fsinθ
求得该条纹级次
k?ax1??3 λf2λλ?7? 22（5）当k=3时，衍射光中的最大光程差为
asinθ?(2k?1)因此，狭缝处波阵面可分成7个半波带。
19-16 白光垂直入射到每厘米有4000条缝的光栅上，问（1）用此光栅能产生多少级完整光谱？（2）可产生多少级不重叠光谱？
解 光栅常数d?1/4000cm?2.5?10m
（1）完整光谱系指同一级次的所有波长光主极大都出现。由于紫光波长短，出现级次多，红光光波长长，出现级次少，故应以红光波长来计算完整光谱的级次。
?6dsinθ?kλR?d
2.5?10?6k?d/λR??3.28 ?77.6?10故可以看见3级完整的光谱。
（2）不重叠的光谱要求某级次红光的衍射角不大于高一级次紫光的衍射角。因此有
kλR?(k?1)λP
故
k?λPλR?λP?1.1
因此只能看见1级不重叠光谱。
19-17 用波长为5900?的平行单色光照射每厘米有5000条刻痕的衍射光栅。（1）当垂直入射时；(2)当入射光与光栅平面的法线方向成30°入射时。求所观察到条纹的最高级次？ 解 光栅常数为
1?10?2(a?b)??2?10?6m
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（1）当入射光垂直入射时，有
(a?b)sinθ?kλ?(a?b)
故
(a?b)2?10?6k???3.39 ?7λ5.9?10因此可以看见条纹的最高级次为3级。
（2）当平行光以φ入射时，0级条纹在和入射光线平行的透镜副光轴方向，级次最大的明条纹对应的衍射光和入射光线在光栅平面法线的同侧，此时有光栅方程
(a?b)(sinθ?sinφ)?kλ
当θ=90°时，有
(a?b)(sinθ?sinφ)(a?b)(1?sin30?)k??λλ ?62?10?(1?0.5)??5.08?75.9?10此时可以看见条纹的最高级次为5。
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大学物理下第19章习题详解资料讲解
