第十三届全国中学生物理竞赛复赛试题
全卷共六题，总分为140分。
一、（20）如图复13 - 1所示，有一匀质细导线弯成的半径为a的圆线圈和一内接等边三角形的电阻丝组成的电路（电路中各段的电阻值见图）。在圆线圈平面内有垂直纸面向
?里的均匀磁场，磁感应强度B随时间t均匀减小，其变化率的大小为一已知常量k。已知2r1=3r2。试求图中A、B两点的电势差UA-UB。
Ar1r2OC2r2r1Br2r1图复13 - 1
二、（20分）长度为4毫米的物体AB由
图复13 - 2所示的光学系统成像。光学系统由一个直角棱镜、一个会聚透镜和一个发散透镜组成，各有关参数和几何尺寸均标示于图上。 求（1）像的位置；
（2）像的大小，并作图说明是实像还是虚像，是正立还是倒立的。
A6cmBn=1.545°L16cm45°10cm5cmf1=20cmf2=-10cm图复13 - 2
三、（25分）如图复13 - 3所示，四个质量均为m的质点，用同样长度且不可伸长的轻绳联结成菱形ABCD。静止放在水平光滑的桌面上。若突然给质点A一个历时极短沿CA方向的冲击，当冲击结束的时刻，质点A的速度为V，其它质点也获得一定速度，∠BAD = 2α(α＜π/4 )。求此质点系统受冲击后所具有的总动量和总能量。
L2
DAv2αCB图复13 - 3- 1 -
四、（25分）在一个半径为R的导体球外，有一个半径为r的细圆环，圆环的圆心与导体球心的连线长为a (a＞R)，且与环面垂直，如图复13 - 4所示。已知环上均匀带电，总电量为q ，试问：
1、当导体球接地时，球上感应电荷总电量是多少？
2、当导体球不接地而所带总电量为零时，它的电势如何？ 3、当导体球的电势为V0时，球上总电荷又是多少？ 4、情况3与情况1相比，圆环受导体球的作用力改变量的大小和方向如何？ R5、情况2与情况1相比，
ra圆环受导体球的作用力改变量OO/的大小和方向如何？
〔注〕已知：装置不变时，不同的静电平衡带电状态可以叠加，叠加后仍为静电平衡状
图复13 - 4态。
五、有一个用伸缩性极小且不漏气的布料制作的气球（布的质量可忽略不计），直径为 d = 2.0米。球内充有压强p0=1.005×105帕的气体。该布料所能承受的最大不被撕破力为 8.5×103牛顿/米（即对于一块展平的1米宽的布料，沿布面而垂直于布料宽度方向所fm=
施加的力超过8.5×103牛顿时，布料将被撕破）。开始时，气球被置于地面上，该处的大气压强为pa0=1.000×105帕，温度T0= 293开。假设空气的压强和温度均随高度而线性地变化 ，压强的变化为?p= - 9.0 帕/米，温度的变化为?T= - 3.0×10?3开/米，问该气球上升到多高时将破裂？
假设气球上升很缓慢，可认为球内温度随时与周围空气的温度保持一致。在考虑气球破裂时，可忽略气球周围各处和底部之间空气压强的差别。
六、有七个外形完全一样的电阻，已知其中六个的阻值相同，另一个的阻值不同。请按照下面提供的器材和操作限制，将那个阻值不同的电阻找出，并指出它的阻值是偏大还是偏小，同时要求画出所用电路图，并对每步判断的根据予以论证。
提供的器材有：①电池。②一个仅能用来判断电流方向的电流表（量程足够），它的零刻度在刻度盘的中央，而且已知当指针向右偏时电流是由哪个接线柱流入电流表的。③导线若干。
操作限制：全部过程中电流表的使用不得超过三次。
- 2 -
第十三届全国物理竞赛复赛试题解答
一、在各段电路上，感应电流的大小和方向如图复解13 - 1所示电流的分布，已考虑到电路的对称性，根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律，对半径为α的圆电路，可得 ? πa2k = 2r1I1+ r1I1对等边三角形三个边组成的电路，可得
33a2k / 4 = 2r2I2+ 2r2I?2
对由弦AB和弧AB构成的回路，可得
（πa2-33a2/ 4）k / 3 = r1I1- r2I2
考虑到，流进B点的电流之和等于流出B点电流之和，
有
? + I?2 I1 + I2 =I1由含源电路欧姆定律可得
UA- UB = πa2k /3 - I1r1
r1I2I1r2Cr1Ar2OI2′2r2I1′r1I2I1B图复解13 - 1由以上各式及题给出的 r2= 2r1 / 3可解得
UA- UB = -
二、解法一：1、分析和等效处理
根据棱镜玻璃的折射率，棱镜斜面上的全反射临界角为?c= arcsin ( 1 / n ) ?42? 注意到物长为4mm，由光路可估算，进入棱镜的近轴光线在斜面上的入射角大多
在45左右，大于临界角，发
A生全反射。所以对这些光线而
言，棱镜斜面可看成是反射B6cm镜。本题光路可按反射镜成像
的考虑方法，把光路“拉直”如图复解13 – 2 - 1所示。现在，问题转化为正立物体经过
一块垂直于光轴、厚度为6cm的平玻璃板及其后的会聚透镜、发散透镜成像的问题。
2、求像的位置；厚平玻璃板将使物的近轴光线产生一个向右侧移动一定距离的像，它成为光学系统后面部分光路的物，故可称为侧移的物。利用沿光轴的光线和与光轴成α角的光线来讨论就可求出这个移动的距离。
设轴上的物点为B。由于厚平玻璃板的作用
?3a2k / 32
A6cmBL1L210cm5cm6cm图复解13 - 2 - 1ααBαdΔlB′dβαD图复解13 - 2 - 2- 3 -
（即侧移的物点）为B′（如图复解13 – 2 - 2所示）。画出厚平玻璃板对光线的折射，由图可知 Δl = d（ctgα）
而 d = D（tgα- tgβ） 所以 Δl = D（1 – tgα/ tgβ） 当α为小角度时 tgβ/ tgα≈sinβ/ sinα= 1/n 故得 Δl = D（1 – 1 / n）= 2 cm
这也就是物AB与它通过厚玻璃板所成的像之间的距离。这个像对透镜L1来说就是物，而物距
u1 =〔 （6 – 2 ）+ 6 + 10 〕cm = 20 cm
可见，物正好在L1的左方焦平面上，像距即为v1= ∞ 。 再考虑透镜L2，这是平行光线入射情形，u2= ∞ 。
所以必须成像于这个发散透镜L2左侧的焦平面上（虚像）v2 = f2 = - 10 cm 整个光路的最后成像位置就是在L2的左侧10 cm处。
3、求像的大小和虚、实、正、倒情况：可用作图法求解，如图复解13 – 2 - 3所示（为了图示清楚图中把物高加大了）。 连接A?O1并延长， 便得到发自A?的光线经L1后的平行光线的方向。过L2的光心O2作A?O1的平行线，
f2它与L1交于C点，则A?C即为从A?发出经过L1折A′A″L2L1射后又通过L2光心的光线。反向延长CO2与L2
C左侧焦平面的交点A??就是A?由L1与L2所成的像B′B″O2γO1点。 令L2左侧焦面与光轴的交点为B??。A??B??就f1是A?B?的像，这是一个正立的虚像。由图可得
A??B?? = f2 tgγ
A?B? = f1tgγ
而A?B?与AB等高，所以像的大小为
2 mm
解法二：关于物体AB经棱镜（折射，反射，折射）后，所成像的位置及大小可采用视深法处理。如图复解13 – 2 - 4所示，AB发出的、与PQ面近乎垂直的小光束经PQ面折射后成像于A1B1这是视深问题。A1、B1与PQ面的距离均为A、B与PQ面的距离的n倍，即
C1B1 = nC1B A1B1= AB（像与物的大小相图复解13 - 2 - 3 A??B?? = （f2 / f1）A?B?=
A1AB2BA2A′B2B′PC1QC3C2R图复解13 - 2 - 4同）
A1B1经PR面的反射成像于A2B2，大小不变，且
C2B2?C2B1?C2C1?C1B1?C1P?nC1B A2B2经QR面后折射成像于A?B?，大小不变，且
C3B? = (C3B2/n?(C3C2?C2B2)/n?(C1Q?C1P?nC1B1)/n?(PQ?C1B)/n
- 4 -
=（6 / 1. 5 + 6）cm = 10 cm
由此即可求出这个像A?B?作为透镜L1的物的物距，其它部分的求解同解法（一）。
三、由对称性可知，C点的速度也必沿CA方向，设其大小为vC。D的速度可以分解为平行于v和垂直于v的分速度，其大小分别设为vD1和vD2。同样，B的速度也类似地分解为平行和垂直于v的二个分速度 ，其大小设为vB1和vB2 ，如图复解13 - 3所示，根据对称性，必有
由于绳子不可伸长，A沿DA的分速度和D沿DA的分速度 一定相等，C沿CD的分速度和D沿CD的分速度也相等，即
vcos??vD1cos??vD2sin?vCcos??vD1cos??vD2sin?vB1?vD1vB2?vD2vD1AvDvD2vB2vC
?1? ?2?αvB1CB图复解13 - 3
?3? ?4?另一方面，设绳子AD给质点D的冲量的大小为I1，绳子DC给质点C冲量大小为I2。注意到绳子DC给质点D的冲量的大小同样也是I2（各冲量的方向均沿绳子方向）。由对称性还可以判定，绳子AB给质点B的冲量的大小也是I1，绳子BC给质点B和C的冲量的大小都是I2，根据动量定理，可分别列出关于质点D平行和垂直于v的方向以及质点C平行于v方向的关系式如下：
mvD1?I1cos??I2cos??5?mvD2?I1sin??I2sin? ?6?
?7?mvC?2I2cos?由（3）~（7）式可解出本题所需的 vD1和vD2、vC
vD1?v/(1?2sin2?)vD2?vsin2?/(1?2sin2?) vC?vcos2?/(1?2sin2?)据此结果和（1）、（2）式，此系统的总动量为
P?mv?2mvD1?mvC?4mv/(1?2sin2?) ， 方向沿CA方向。
此系统的总动能为
E?EA?EB?EC?ED?1m?v2?2v2D1?2v2D2?v2C2??2mv2/?1?2sin2??
四、1、见图复解13 – 4 。导体是一个等势体，所以导体球接地（V球= 0 ）时，对于球心点有 V球心 =
V球 = 0 O- 5 -
RarO/
图复解13 - 4
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