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专题24.1 空间向量及空间位置关系（精讲精析篇）
提纲挈领
点点突破
热门考点01 利用空间向量证明平行问题
1.直线的方向向量与平面的法向量的确定
→→
①直线的方向向量：l是空间一直线,A,B是直线l上任意两点,则称AB为直线l的方向向量,与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．
②平面的法向量可利用方程组求出：设a,b是平面α内两不共线向量,n为平面α的法向量,则求法向量的
??n·a＝0，方程组为?
??n·b＝0.
2.用向量证明空间中的平行关系
①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1∥l2(或l1与l2重合)?v1∥v2.
②设直线l的方向向量为v,与平面α共面的两个不共线向量v1和v2,则l∥α或l?α?存在两个实数x,y,使v＝xv1＋yv2.
③设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l∥α或l?α?v⊥u. ④设平面α和β的法向量分别为u1,u2,则α∥β?u1∥u2.
【典例1】【选自2017天津,理17】如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,?BAC?90?.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.
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（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；
【典例2】(湖北卷)如图,在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱
AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP?BQ???0???2?.
（1）当??1时,证明：直线BC1//平面EFPQ.
【规律方法】
利用空间向量证明平行的方法
热门考点02 利用空间向量证明垂直问题
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1. 用向量证明空间中的垂直关系
①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0. ②设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l⊥α?v∥u. ③设平面α和β的法向量分别为u1和u2,则α⊥β?u1⊥u2?u1·u2＝0. 2.共线与垂直的坐标表示
设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3),则a∥b?a＝λb?a1＝λb1,a2＝λb2,a3＝λb3(λ∈R),
a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a,b均为非零向量)．
【典例3】（2024·甘肃武威十八中高三单元测试）设平面α与向量a＝(－1,2,－4)垂直,平面β与向量b＝(2,3,1)垂直,则平面α与β的位置关系是________．
【典例4】（2024·北京高三期末（理））正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1,动点M在线段CC1上,动点P在平面A1B1C1D1上,且AP?平面MBD1.
（Ⅰ）当点M与点C重合时,线段AP的长度为_______； （Ⅱ）线段AP长度的最小值为_______. 【总结提升】
用空间向量证明垂直问题的方法
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2024年新高考数学核心知识点24.1 空间向量及空间位置关系(精讲精析篇)(学生版)
