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∵x∈[﹣π，π]， ∴x=
或x=
或x=﹣
或x=﹣
【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．
19．（14分）（2024?上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为 f（x）=
（单位：分钟），
而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．
【考点】5B：分段函数的应用．
【专题】12 ：应用题；33 ：函数思想；4C ：分类法；51 ：函数的性质及应用．
【分析】（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；
（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义． 【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时， f（x）=2x+
.
﹣90＞40，
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即x2﹣65x+900＞0， 解得x＜20或x＞45，
∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； （2）当0＜x≤30时，
g（x）=30?x%+40（1﹣x%）=40﹣当30＜x＜100时， g（x）=（2x+
﹣90）?x%+40（1﹣x%）=
﹣
x+58；
；
∴g（x）=；
当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减； 当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增；
说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的； 有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的； 当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．
【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．
20．（16分）（2024?上海）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点． （1）用t表示点B到点F的距离；
（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；
.
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（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．
【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|； 方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；
（2）根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得△AQP的面积；
（3）设P及E点坐标，根据直线kPF?kFQ=﹣1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据得P点坐标．
【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2则|BF|=∴|BF|=t+2；
方法二：由题意可知：设B（t，2
t），
=t+2，
t），
+
=
，求得E点坐标，则（
）2=8（
+6），即可求
由抛物线的性质可知：|BF|=t+=t+2，∴|BF|=t+2； （2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1， ∴|AQ|=D（，
，∴Q（3，），
），设OQ的中点D，
.
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kQF=
=﹣，则直线PF方程：y=﹣（x﹣2），
联立，整理得：3x2﹣20x+12=0，
解得：x=，x=6（舍去）， ∴△AQP的面积S=×（3）存在，设P（
×=
；
，m），则kPF=
=
，kFQ=
，
，y），E（
直线QF方程为y=
（x﹣2），∴yQ=
（8﹣2）=，Q（8，
），
根据+=，则E（+6，），
∴（）2=8（+6），解得：y2=，
）．
∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，
.
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【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．
21．（18分）（2024?上海）给定无穷数列{an}，若无穷数列{bn}满足：对任意n∈N*，都有|bn﹣an|≤1，则称{bn}与{an}“接近”．
（1）设{an}是首项为1，公比为的等比数列，bn=an+1+1，n∈N*，判断数列{bn}是否与{an}接近，并说明理由；
（2）设数列{an}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{bn}是一个与{an}接近的数列，记集合M={x|x=bi，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m； （3）已知{an}是公差为d的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围． 【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．
【专题】34 ：方程思想；48 ：分析法；54 ：等差数列与等比数列． 【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断； （2）由新定义可得an﹣1≤bn≤an+1，求得bi，i=1，2，3，4的范围，即可得到所求个数；
（3）运用等差数列的通项公式可得an，讨论公差d＞0，d=0，﹣2＜d＜0，d≤﹣2，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围． 【解答】解：（1）数列{bn}与{an}接近． 理由：{an}是首项为1，公比为的等比数列， 可得an=
，bn=an+1+1=
+1﹣
+1， |=1﹣
＜1，n∈N*，
则|bn﹣an|=|
.
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