1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) limcotx(x?011?)?_____________. sinxx(2) 曲面z?ez?2xy?3在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________. 1x?2u(3) 设u?esin,则在点(2,)处的值为_____________.
?y?x?y?xx2y2(4) 设区域D为x?y?R,则??(2?2)dxdy?_____________.
abD222nTT(5) 已知??(1,2,3),??(1,,),设A???,其中?是?的转置,则A?_________. 1123
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
??sinx4342(1) 设M???cosxdx,N???(sinx?cosx)dx,P??2?(x2sin3x?cos4x)dx, 2???1?x2222?则 ( )
(A) N?P?M (B) M?P?N (C) N?M?P (D) P?M?N
(2) 二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fx?(x0,y0)、fy?(x0,y0)存在是f(x,y)在该点连续的 ( ) (A) 充分条件但非必要条件 (B) 必要条件而非充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (3) 设常数??0,且级数
?a收敛,则级数?(?1)n2nn?1??|an|n??2 ( )
n?1(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与?有关 (4) limx?0atanx?b(1?cosx)cln(1?2x)?d(1?e?x)2?2,其中a2?c2?0,则必有 ( )
(A) b?4d (B) b??4d (C) a?4c (D) a??4c
(5) 已知向量组?1、?2、?3、?4线性无关,则向量组 ( ) (A) ?1??2、?2??3、?3??4、?4??1线性无关
(B) ?1??2、?2??3、?3??4、?4??1线性无关
(C) ?1??2、?2??3、?3??4、?4??1线性无关 (D) ?1??2、?2??3、?3??4、?4??1线性无关
三、(本题共3小题, 每小题5分,满分15分.)
?x?cos(t2),2dydy??(1) 设? 求、在的值. t?t2122dxdx2cosudu,?y?tcos(t)??12u?(2) 将函数f(x)?(3) 求
11?x1ln?arctanx?x展开成x的幂级数. 41?x2dx?sin2x?2sinx.
四、(本题满分6分)
xdydz?z2dxdy计算曲面积分??,其中S是由曲面x2?y2?R2及两平面z?R, 222x?y?zSz??R(R?0)所围成立体表面的外侧.
五、(本题满分9分)
设f(x)具有二阶连续导数,f(0)?0,f?(0)?1,且
[xy(x?y)?f(x)y]dx?[f?(x)?x2y]dy?0为一全微分方程,求f(x)及此全微分方程的
通解.
六、(本题满分8分)
设f(x)在点x?0的某一领域内具有二阶连续导数,且limx?0f(x)?0,证明级数 x?f(n)绝对收敛.
n?1?1
七、(本题满分6分)
已知点A与B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕z轴旋转一周所围成的旋转曲面为S.求由S及两平面z?0,z?1所围成的立体体积.
八、(本题满分8分)
?x1?x2?0,设四元线性齐次方程组(?)为? 又已知某线性齐次方程组(??)的通解为
x?x?0,?24k1(0,1,10)?k2(?1,2,2,1).
(1) 求线性方程组(?)的基础解系；
(2) 问线性方程组(?)和(??)是否有非零公共解？若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.
九、(本题满分6分)
设A为n阶非零方阵,A是A的伴随矩阵,A是A的转置矩阵,当A?A时,证明
*
T*T|A|?0.
十、填空题(本题共2小题, 每小题3分,满分6分.)
(1) 已知A、B两个事件满足条件P(AB)?P(AB),且P(A)?p,则P(B)?__________. (2) 设相互独立的两个随机变量X、Y具有同一分布律,且X的分布律为
X P 0 1 11 22则随机变量Z?max?X,Y?的分布律为_______.
十一、(本题满分6分)
已知随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且X和Y分别服从正态分布N(1,3)和
21XYN(0,42),X与Y的相关系数?XY??,设Z??,
232(1) 求Z的数学期望E(Z)和方差D(Z)； (2) 求X与Z的相关系数?XZ； (3) 问X与Z是否相互独立？为什么？
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】
1 60”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以连0【解析】原式变形后为“续应用两次洛必达法则,有
原式?limcosx(x?sinx)x?sinx?limcosx?lim
x?0x?0x?0xsin2xx31?cosxsinx1sinx?lim?lim?lim?1) . (由重要极限2x?0x?0x?03x6x6x(2)【答案】2x?y?4?0
【解析】所求平面的法向量n为平行于所给曲面在点(1,2,0)处法线方向的方向向量l,取n?l,又平面过已知点M(1,2,0).
已知平面的法向量(A,B,C)和过已知点(x0,y0,z0)可唯一确定这个平面：
A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0.
因点(1,2,0)在曲面F(x,y,z)?0上.曲面方程F(x,y,z)?z?e?2xy?3. 曲面在该点的法向量
z??F?F?F??n??,,??2y,2x,1?ez???4,2,0??2?2,1,0?, ?(1,2,0)??x?y?z?(1,2,0)故切平面方程为 2(x?1)?(y?2)?0, 即 2x?y?4?0.
?2(3)【答案】2
e【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,为了简化运算,所以本题可以先求
?u???u?,再求. ???y?x??y??uxx??2e?xcos, ?yyy?2u?2u???u ????x?y(2,1)?y?x(2,1)?x??y????????2xe?xcos?x? ??1?y??xx?2??x?2
?(??e(1?x)cos?x)(可边代值边计算,这样可以简化运算量.)
2?xx?2?0??2e2.
【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数u??(x,y),v??(x,y)都在点(x,y)具有对x及对y的偏导数,函数z?f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数
z?f(?(x,y),?(x,y))在点(x,y)的两个偏导数存在,且有
?z?z?u?z?v?u?v???f1??f2?； ?x?u?x?v?x?x?x?z?z?u?z?v?u?v???f1??f2?. ?y?u?y?v?y?y?y(4)【答案】
?4R4(11?2) 2ab【解析】很显然,根据此题的特征用极坐标变换来计算： 原式??2?0d??R0?cos2?sin2?r??22ab?222??cos??sin2??2?rdr??0?2ab??R?3?d???0rdr. ?注意：
?2?0cos?d???sin2?d???,
022?则 原式???11?14?4?11??2???R?R?2?2?. 2ab?44?ab??121321?3??2? ?3?1?????1?n?1(5)【答案】3?2???3???1?11????T【解析】由矩阵乘法有结合律,注意 ????1,,?2?3是一个数,
?23?????3??
1994年考研数学一试题及完全解析(Word版)
