中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2007年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）
??x?y?12,1．方程组?的解的个数为（ ）．
??x?y?6（A）1 （B） 2（C） 3 （D）4
答：（A）．
??x?y?12,x解：若≥0，则?于是y?y??6，显然不可能．
x?y?6,?????x?y?12,若x?0，则 ?
x?y?6,??于是y?y?18，解得y?9，进而求得x??3．
?x??3,所以，原方程组的解为?只有1个解．
?y?9,故选（A）．
2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）．
（A） 14 （B） 16 （C）18 （D）20 答：（B）． 解：用枚举法：
红球个数 白球个数 黑球个数 种 数
5 2，3，4，5 3，2，1，0 4 4 3，4，5，6 3，2，1，0 4 3 4，5，6，7 3，2，1，0 4 2 5，6，7，8 3，2，1，0 4
所以，共16种．
故选（B）．
3．已知△ABC为锐角三角形，⊙O经过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E． 若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，则⊙O一定经过
△ABC的（ ）．
（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心 答：（B）．
解： 如图，连接BE，因为△ABC为锐角三角形，所以
?BAC，?ABE均为锐角．又因为⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，且DE为两圆的公共弦，所以
?BAC??ABE．于是，?BEC??BAC??ABE?2?BAC．
若△ABC的外心为O1，则?BO1C?2?BAC，所以，⊙O一定过△ABC的外心．
故选（B）．
4．已知三个关于x的一元二次方程
ax2?bx?c?0，bx2?cx?a?0，cx2?ax?b?0
a2b2c2恰有一个公共实数根，则??的值为（ ）．
bccaab（第3题答案图） （A） 0 （B）1 （C）2 （D）3
答：（D）． 解：设x0是它们的一个公共实数根，则
ax0?bx0?c?0，bx0?cx0?a?0，cx0?ax0?b?0．
把上面三个式子相加，并整理得
2(a?b?c)(x0?x0?1)?0．
222132因为x0?x0?1?(x0?)2??0，所以a?b?c?0．
24于是
a2b2c2a3?b3?c3a3?b3?(a?b)3???? bccaababcabc?故选（D）．
?3ab(a?b)?3．
abc5．方程x3?6x2?5x?y3?y?2的整数解（x，y）的个数是（ ）． （A）0 （B）1 （C）3 （D）无穷多 答：（A）．
解：原方程可化为
x(x?1)(x?2)?（3x2?x）?y(y?1)(y?1)?2，
因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的．所以，原方程无整数解．
故选(A).
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
6．如图，在直角三角形ABC中，?ACB?90?，CA＝4．点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段BP把图形APCB分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 ．
答：4．
解：如图，设AC与BP相交于点D，点D关于圆心O的对称点记为点E，线段BP把图形APCB分成两部分，这两部分面积之差的绝对值是△BEP的面积，即△BOP面积的两倍．而
11S?BPO?PO?CO??2?2?2．
22因此，这两部分面积之差的绝对值是4．
7．如图, 点A，C都在函数y?（第6题答案图） 33(x?0)的图象上，点B，D都在x轴上，x且使得△OAB，△BCD都是等边三角形，则点D的坐标为 ．
答：（26，0）．
解：如图，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为E，F．设OE＝a，BF＝b， 则AE＝3a，CF＝3b，所以，点A，C的坐标为
（第7题答案图） （a，3a），（2a＋b，3b），
2??3a?33,所以 ?
??3b(2a?b)?33,解得
??a?3, ???b?6?3,因此，点D的坐标为（26，0）．
8．已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）． 若二次函数y?x2??a?3?x?3的图象与线段AB恰有一个交点，则a的取值范围是 ．
1答：?1≤a??，或者a?3?23．
2解：分两种情况：
（Ⅰ）因为二次函数y?x2??a?3?x?3的图象与线段AB只有一个交点，且点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0），所以
?11得?1?a??．
22?(a?3)?1?3?22?(a?3)?2?3?0，
???由12?(a?3)?1?3?0，得a??1，此时x1?1，x2?3，符合题意；
31由22?(a?3)?2?3?0，得a??，此时x1?2，x2?，不符合题意．
22（Ⅱ）令x2??a?3?x?3?0，由判别式??0，得a?3?23．
当a?3?23时，x1?x2??3，不合题意；当a?3?23时，x1?x2?3，符合题意．
1综上所述，a的取值范围是?1≤a??，或者a?3?23．
29．如图，?A??B??C??D??E??F??G?n?90?，则n＝ ．
答：6．
解：如图，设AF与BG相交于点Q，则
?AQG??A??D??G，
于是
?A??B??C??D??E??F??G
??B??C??E??F??AQG ??B??C??E??F??BQF
?540??6?90?． 所以，n＝6．
10．已知对于任意正整数n，都有
a1?a2?L?an?n3，
（第9题答案图） 则
111??L?? ． a2?1a3?1a100?133． 100解：当n≥2时，有
答：
a1?a2???an?1?an?n3，
a1?a2?L?an?1?(n?1)3，
两式相减，得 an?3n2?3n?1， 所以
11111??(?), n?2,3,4,? an?13n(n?1)3n?1n111??L? a2?1a3?1a100?1因此
11111111?(1?)?(?)?L?(?) 323233991001133． ?(1?)?3100100三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）
11（A）．已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P是抛物线y?上的一个动点．
（1）判断以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y??1的位置关系； （2）设直线PM与抛物线y?证：?PNM??QNM．
解：（1）设点P的坐标为(x0,12x0)，则 412x的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求412x41212122?(x0?1)2?(x0?1)2?x0?1; PM＝x04441212?(?1)?x0?1， 又因为点P到直线y??1的距离为x044所以，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y??1相切．
…………5分
（2）如图，分别过点P，Q作直线y??1的垂线，垂足分别为H，R．由（1）知，PH＝PM，同理可得，QM
＝QR．
（第11A题答案图）
初中数学竞赛试题及答案
