含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种：
一、按x项的系数a的符号分类，即a?0,a?0,a?0; 例1 解不等式：ax??a?2?x?1?0
22 分析：本题二次项系数含有参数，???a?2??4a?a?4?0，故只需对二次项
22系数进行分类讨论。
2 解：∵???a?2??4a?a?4?0
2?a?2?a2?4?a?2?a2?4,x2?解得方程 ax??a?2?x?1?0两根x1?
2a2a2??a?2?a2?4?a?2?a2?4???或x?∴当a?0时,解集为?x|x??
2a2a????当a?0时，不等式为2x?1?0,解集为?x|x???1?? 2???a?2?a2?4???a?2?a2?4??x?当a?0时, 解集为?x|?
2a2a???? 例2 解不等式ax?5ax?6a?0?a?0?
2分析 因为a?0，??0，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ?a(x?5x?6)?a?x?2??x?3??0
2?当a?0时，解集为?x|x?2或x?3?；当a?0时，解集为?x|2?x?3?
二、按判别式?的符号分类，即??0,??0,??0； 例3 解不等式x?ax?4?0
分析 本题中由于x的系数大于0,故只需考虑?与根的情况。 解：∵??a?16
∴当a???4,4?即??0时，解集为R；
222当a??4即Δ＝0时，解集为?xx?R且x???a??； 2??a?a2?16?a?a2?16当a?4或a??4即??0,此时两根分别为x1?，x2?，显然
22x1?x2,
??a?a2?16?a?a2?16???∴不等式的解集为?xx?或x〈?
22???? 例4 解不等式m?1x?4x?1?0?m?R?
22?? 解 因m?1?0,??(?4)?4m?1?43?m所以当m??3，即??0时，解集为?x|x?22?2??2?
??1??； 2??2?3?m22?3?m2?当?3?m?3，即??0时，解集为?xx?或x〈2m?1m2?1??当m??3或m?2???； ??3，即??0时，解集为R。
三、按方程ax?bx?c?0的根x1,x2的大小来分类，即x1?x2,x1?x2,x1?x2；
1)x?1?0 (a?0) a1分析：此不等式可以分解为：?x?a?(x?)?0，故对应的方程必有两解。本题
a例5 解不等式x?(a?2只需讨论两根的大小即可。
解：原不等式可化为：?x?a?(x?∴当a??1或0?a?1时，a?
11
)?0，令a?，可得：a??1 aa
1??； a?1? ，故原不等式的解集为?x|a?x?a?当a?1或a??1时，a?
1
,可得其解集为?； a
1?1?,解集为?x|?x?a?。 a?a?2当?1?a?0或a?1时, a?例6 解不等式x?5ax?6a?0，a?0
22 分析 此不等式????5a??24a?a?0，又不等式可分解为?x?2a?(x?3a)?0，故
22只需比较两根2a与3a的大小.
解 原不等式可化为：?x?2a?(x?3a)?0，对应方程?x?2a?(x?3a)?0的两根为 x1?2a,x2?3a，当a即2a3a，解集为?x|x?3a或x?2a?；当a?0时，即2a0时，
3a，
解集为x|x?2a或x?3a
??含参不等式恒成立问题的求解策略
“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。 一、判别式法
若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数
f(x)?ax2?bx?c(a?0,x?R),有
1）f(x)?0对x?R恒成立???a?0;
???02）f(x)?0对x?R恒成立??2?a?0. ??0?例1：若不等式(m?1)x?(m?1)x?2?0的解集是R，求m的围。
解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以
要讨论m-1是否是0。
（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；
?m?1?0（2）m?1?0时，只需?，所以，m?[1,9)。 2??(m?1)?8(m?1)?0?例2．已知函数y?lg[x?(a?1)x?a]的定义域为R，数a的取值围。
解：由题设可将问题转化为不等式x?(a?1)x?a?0对x?R恒成立，即有
2222??(a?1)2?4a2?0解得a??1或a?所以实数a的取值围为(??,?1)?(,??)。
1。 313若二次不等式中x的取值围有限制，则可利用根的分布解决问题。
二、最值法
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：
1）f(x)?a恒成立?a?f(x)min 2）f(x)?a恒成立?a?f(x)max
例3、若x???2,2?时，不等式x?ax?3?a恒成立，求a的取值围。
2解：设f?x??x2?ax?3?a，则问题转化为当x???2,2?时，f?x?的最小值非负。 （1） 当?a7 ??2即：a?4时，f?x?min?f??2??7?3a?0 ?a?又a?4所以a不存在；
23a2a?a??0 ??6?a?2 又（2） 当?2??2即：?4?a?4时，f?x?min?f????3?a?242???4?a?4 ??4?a?2
a（3） 当??2 即：a??4时，f?x?min?f?2??7?a?0 ?a??7又a??4??7?a??4
2综上所得：?7?a?2
x2?2x?a,x?[1,??)，若对任意x?[1,??)，f(x)?0恒成立，数a的取值例4．函数f(x)?x围。
解：若对任意x?[1,??)，f(x)?0恒成立，
x2?2x?a?0恒成立， 即对x?[1,??)，f(x)?x考虑到不等式的分母x?[1,??)，只需x?2x?a?0在x?[1,??)时恒成立而得 而抛物线g(x)?x?2x?a在x?[1,??)的最小值gmin(x)?g(1)?3?a?0得a??3
22a?2，讨论其单调性从而求出f(x)最小值。 xB2?例5：在?ABC中，已知f(B)?4sinBsin(?)?cos2B,且|f(B)?m|?2恒成立，数m42注：本题还可将f(x)变形为f(x)?x?的围。 解析：由
f(B)?4sinBsin2(?4?B)?cos2B?2sinB?1,?0?B??,?sinB?(0,1]，f(B)?(1,3]，2?m?f(B)?2?|f(B)?m|?2恒成立，??2?f(B)?m?2，即?恒成立，?m?(1,3]
?m?f(B)?2例6：求使不等式a?sinx?cosx,x?[0,?]恒成立的实数a的围。
解析：由于函a?sinx?cosx???3?2sin(x?),x???[?,]，显然函数有最大值2，
4444?a?2。
三、分离变量法
若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：
1）f(x)?g(a)(a为参数）恒成立?g(a)?f(x)max 2）f(x)?g(a)(a为参数）恒成立?g(a)?f(x)max 。
例7、已知x????,1?时，不等式1?2x?a?a2?4x?0恒成立，求a的取值围。 解：令2?t，
x??x????,1? ?t??0,2? 所以原不等式可化为：a2?a?t?1， 2t要使上式在t??0,2?上恒成立，只须求出f?t??t?1在t??0,2?上的最小值即可。 t2t?1?1?1?11?1f?t??2?????????
t?t?t?t2?4?f?t?min?f?2??221?1???,??? t?2?33132 ?a?a? ???a? 4422??a??2?，若对任意x??2,???恒有f?x??0，试确定a的取值围。 x?例8、已知函数f?x??lg?x?解：根据题意得：x?2a?2?1在x??2,???上恒成立， x即：a??x?3x在x??2,???上恒成立，
3?9?2设f?x???x?3x，则f?x????x???
2?4?当x?2时，f?x?max?2 所以a?2
例9．已知函数f(x)?ax?4x?x2,x?(0,4]时f(x)?0恒成立，数a的取值围。 解： 将问题转化为a?24x?x2对x?(0,4]恒成立。 x令g(x)?4x?x2，则a?g(x)min x
含全参数地一元二次不等式地解法以及含参不等式恒成立问题（专题）
