第7章 参数估计 ----点估计
一、填空题
1、设总体X服从二项分布B(N,p)，0?P?1，X1,X2?Xn是其一个样本，那么矩估
?? 计量pX . N 其 中 未 知 参 数 0?p?1 , X1,X2?,Xn 是 X的样本， B(1,p)，
2、 设 总 体X~n1nX1?Xi则 p的 矩 估 计 为_?Xi_， 样本 的 似 然 函 数 为_?pi(1?p)__。
ni?1i?13、 设 X1,X2,?,Xn是 来 自 总 体
2X~N(?,?2)的 样 本， 则 有 关 于 ?及 ?2的 似 然 函 数L(X1,X2?,Xn;?,?)?_
?i?1ne2??1?12?2(Xi??)2__。
二、计算题
1、设总体X具有分布密度f(x;?)?(??1)x?,0?x?1，其中???1是未知参数，
X1,X2,?Xn为一个样本，试求参数?的矩估计和极大似然估计.
解：因E(X)??10x(α?1)xadx??(α?1)xα?1dx?01α?1a?21α?1x|0? α?2α?2??1α令E(X)?X?
?α?2??2X?1为?的矩估计 ?α1?X因似然函数L(x1,x2,?xn;?)?(??1)n(x1x2?xn)?
n?lnLn?lnL?nln(α?1)?α?lnXi，由???lnXi?0得，
?αα?1i?1i?1n???(1??的极大似量估计量为αn?lnXi?1n)
i??e??x,x?02、设总体X服从指数分布 f(x)?? ，X1,X2,?Xn是来自X的样本，（1）
0,其他?求未知参数?的矩估计；（2）求?的极大似然估计.
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解：（1）由于E(X)?1? ，令
1?n?X?????1??1 ，故?的矩估计为?XX（2）似然函数L(x1,x2,?,xn)??elnL?nln????xii?1n?xii?1n
dlnLnn???xi?0???d??i?1故?的极大似然估计仍为
n
?xi?1ni1。 X22
3、设总体X~N?0,??，X1,X2,?,Xn为取自X的一组简单随机样本，求?的极大似
然估计；
[解] (1)似然函数L?n?i?11e2???xi22?2??2??n2?2???e?2?i2i?1nx2
nxi2nn2于是lnL??ln2??ln??? 2222?i?1dlnLn1n2??2?4?xi， d?22?2?i?1?dlnL1n222?0，得?的极大似然估计：???Xi. 令
d?2ni?14、设总体X服从泊松分布P(?), X1,X2,?,Xn为取自X的一组简单随机样本, （1）求未知参数?的矩估计；（2）求?的极大似然估计.
??X，此为?的矩估计。 解：（1）令E(X)???X???xii?1n （2）似然函数L(x1,x2,?,xn)??e?n?i?x!i?1n
lnL??xiln??n???lnxi!i?1i?1nnxidlnL??i?1?n?0???d??
n?xi?1n故?的极大似然估计仍为X。
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第七章 参数估计 ----点估计的评价标准
一、填空题
1、 设
X1,X2,X3是取自总体X的一个样本，则下面三个均值估计量
5X33111131?2?X1?X2??3?X1?X2?X3都是总体X2?X3,u,u10234123412?1?X1??15?2 最有效. 均值的无偏估计，则 ?2、 设X1,X2,?Xn是取自总体N(0,?2)的样本，则可以作为?2的无偏估计量是( A ).
1n2A、?Xi
ni?11n2B、?Xi
n?1i?11nC、?Xi
ni?11nD、?Xi
n?1i?1二、计算题
1n1、设X1,X2,?Xn为从一总体中抽出的一组样本，总体均值?已知，用(Xi??)2?n?1i?1去估计总体方差?，它是否是?的无偏估计，应如何修改，才能成为无偏估计.
22n1n1n2?2??2 解：因E[(Xi??)]?E(Xi??)2???n?1n?1i?1n?1i?11n?(Xi??)2不是?2的无偏估计 ?n?1i?11n22但?(Xi??)是?的无偏估计 ni?12、设X1,X2,?Xn是来自总体N(?,?)的一个样本，若使C?偏估计，求常数C的值。 解：
2?(Xi?1n?1i?1?Xi)2为?2的无
E[C??(Xi?1?Xi)]?C?[E(Xi?1?Xi)2]2i?1i?1n?1n?1?C?[EXi2?1?EXi2?2EXi?1EXi]i?1n?1?C?[?2??2??2??2?2?2]i?1n?1
?2(n?1)C?2??2?C?
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12(n?1)
天津理工大学概率论与数理统计第七章习题答案详解
