一、 填空题（每小题3分，共18分）
?011??010?11nTT1. 已知??(1,2,3),??(1,,),设A???,其中?是?的转置,则A? ????23??111??23??3n?1?2?21? . ?3?????3321???2. 已知向量组?1?(1,2,3,4),?2?(2,3,4,5),?3?(3,4,5,6),?4?(4,5,6,7), 则该向量组的秩是 2
11113. 若四阶矩阵A与B相似,A的特征值为2,3,4,5,则行列式B?1?E?
24 4. 已知矩阵
A与对角矩阵????100?A20?10?相似，则?? E ??00?1???5. 设4?4矩阵A?(?,?2,?3,?4),B?(?,?2,?3,?4),其中?,?,?2,?3,?4均为4 维列向量,且已知行列式A?4,B?1,则行列式A?B? 40
6. 使二次型
f(xxx221,x2,3)?5x21?41x2?x2?ax3?2x1x3?2x2x3
正定的a的取值范围为 （2，+∞） 二、单项选择题（每小题3分，共18分）
1．设A是三阶方阵,将A的第1行与第2行交换得B,再把B的第2行加到第3行得C,则满足QA?C的可逆矩阵Q为（ D ）
A. ?100??. B. ?101?. ?001????001????010????010?? C. ?100100??011??. D. ??.
???101??2．设?1,?2,L,?m均为n维向量,那么,下列结论正确的是（B ）
(A)若k1?1?k2?2?L?km?m?0，则?1,?2,L,?m线性相关.
(B)若对任意一组不全为零的数k1,k2,L,km,都有k1?1?k2?2?L?km?m?0,
则?1,?2,L,?m线性无关.
(C)若?1,?2,L,?m线性相关,则对任意一组不全为零的数k1,k2,L,km,都有
k1?1?k2?2?L?km?m?0.
(D)若0??1?0??2?L?0??m?0,则?1,?2,L,?m线性无关.
3．若n阶矩阵A可逆，且其特征值分别为 ?1,L,?*n，则A的特征值分别为：( B )
A．
?1|; D．
1|A|,L,?n|A|； B．
|A|?,L,|A|1?; C．?1|A|,L,?n|An?A|,L,11|?n|A|4. 对n阶方阵A，假定其秩为n?3，且向量组?1,?2,?3为齐次方程组Ax?0的三个线性无关的解，则Ax?0的基础解系为： ( A ) A. ?1??2,?2??3,?3??1; B. ?2??1,?3??2,?1??3;
C. 2?2??11,2?3??2,?1??3; D. ?1??2??3,?3??2,??1?2?2。
5. . 设A和B均为n?n矩阵,则必有（ C ） (A)A?B?A?B. (B)AB?BA.
(C)
AB?BA. (D)(A?B)?1?A?1?B?1.
6. . 已知三维线性空间的一组基为
a1?(1,1,0),a2?(1,0,1),a3?(0,1,1),则向量
u?(2,0,0)在上述基下的坐标是（ B ）
A. (?1,1,?1) B. (1,1,?1) C. (1,1,1) D. (?1,?1,?1)
三、判断题（每小题2分，共10分）（请在括号内填写“√”或者“×”） 1．设
?1,?2,L,?m是n维向量组，
?1,?2,L,?m为向量空间
V???1?1??2?2?L??m?m?1,?2,L?m?R?的基 ( ×)
2．n阶正交矩阵A的行向量组是单位正交向量组 (√ )
3 . V={所有次数不大于n的多项式}，在常规的数乘和加法下，V构成线性空间. ( √ )
4. 若方阵A与B相似，则A,B满足R(A)?R(B) ( √ )
5. 若实对称矩阵A是正定矩阵, 则A与单位阵相似，但不一定与单位阵合同.( ×)
四、计算题（一）（每小题8分，共16分）
xa? ? ?a1. 计算行列式行列式Dax? ? ?an?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?的值
aa? ? ?x
解 将第一行乘(?1)分别加到其余各行? 得
xaa? ? ?aa?xx?a0? ? ?0 Dn?a?x0x?a? ? ?0?
? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?a?x000x?a再将各列都加到第一列上? 得
x?(n?1)aaa? ? ?a0x?a0? ? ?0 Dn?00x?a? ? ?0?[x?(n?1)a](x?a)n?1
?
? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?0000x?a答案错误过程正确的一半分数 2. 已知R3
的两个基为
?1??1??1??1??2??3
????1????1,?2???0??,?3???0??与?1??2??,?2???3??,?3??4?,
??1?????1????1????1?????4?????3??求由基?1,?2,?3到基?1,?2,?3的过渡矩阵P. (?1,?2,?3)P=(?1,?2,?3（)3分）
解 ?P?(?1,??12,?3)(?1,?2,?3（)1分）.
?234????0?10?（???10?1?3分）??五、计算题（二）（每小题12分，共24分）
??x1?x2?x3?x4?x5?a1．讨论线性方程组??3x1?2x2?x3?x4?3x5?0?x2?2x3?2x4?6x
5?b??5x1?4x2?3x3?3x4?x5?2当参数a,b取何值时，该方程组无解；有无穷多解。当方程组有无穷多解时，求其通解。
?1111M?1a??1111Ma?解： B?(A|b)??3211?3M0?r?101226M3a???01226Mb????0000Mb?3a??.（4分） ?5433?1M2??0???00000M2?2a??(1) 方程组有解?R(A)?R(B)???b?3a?0?a?1a?0;（2分） ?2?2???b?3其余情况无解（1分）
??10?1?1?5M?2?
(2)当??a?1r时,?b?3B?(A|b)??01226M3???00000M0??,方程组的解（1分） ?00000M0??
??x1?x3?x4?5x5?2?x2??2x. 3?2x4?6x5?3方程组的导出组的解??x?5x?x3??1??0??0?1?x3?x45x,令?x????????2??2x3?2x4?6x5?4????0?,?1?,?0?,得方程组的导出
?x5????0????0????1????1??1??5???2?????2?????6???组的一个基础解系??x3???0??,???1??1?2??0?,?3??0?.令?x4???0?,得方程组的一个特?0???????x5????0?????1?0?????0??0????1?????2??3??解????0?.则方程组的通解x???k1?1?k2?2?k3?3,其中k1,k2,k3为任意常数.（4分）
?0????0??2．.设二次型f?x2221?2x2?2x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3
(1) 求正交矩阵
P，将二次型化为标准形；
(2)求二次型的正惯性指数.
?1?22??解：
f??x1x2x?4???x1?3???2?2?x?2??XTAX （2分）
??24?2????x3???1?22?x1?其中A=????2?24? ， X???x?2? ， XT??x1x2x3?
??24?2?????x3??1???22 求A的特征值：∣A??E∣=
?2?2??4??(??2)2(??7)
24?2??得特征值：?1??2?2,?3??7， （3分）
? 求特征向量：（1）A?2E???1?22???2?44??12?2?????000?
??24?4???????000?????2? 得向量p?0??2?.,p?3??1?1/2?????1（正交化、单位化后） （3分）
?1/2????123???23???1 （2）A?7E??8?22??10??254??????12?????13???，得p3???2??013? ?245????000??（2分）
???2?3??
?0??得所施行的正交矩阵P??12??12?22?1?3?3?1?2?，正交变换为X=PY
3?2312?3?23?22
A?E?U?U?1?UEU?1?U(??E)U?1?U???E?U?1
. ???E?(?1?1)(?2?1)L(?n?1)?1(1分）（3分）
该二次型的标准型为 f?2y1?2y2?7y3（1分） 其正惯性指数为2。 （1分） 六、证明题（14分，每小题7分） 1
k设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组Ax?0有解向量?k?1,且A??0.证
k?1?,A?,L,A?明:向量组
是线性无关的.
（
2
分
）
,
由
证明 设
x0??x1A??L?xk?1Ak?1??0
Ak?1(x0??x1A??L?xk?1Ak?1?)?0（2分）,得x0Ak?1??0?x0?0（3分）.
同理可得x1?L?xk?1?0.
2设A是n阶正定矩阵,E是n阶单位矩阵,证明：A?E的行列式大于1. 证明 方法一:
A为n阶正定矩阵,则A的特征值?1?0,?2?0,L,?n?0（3
?1?1?1,?2?1?1,L,?n?1?1（2
分）.而
A?E的特征值分别为分）,则
A?E?(?1?1)(?2?1)L(?n?1)?1.（2分）
方法二:
A为n阶正定矩阵,则存在正交矩阵U,使得U?1AU???diag(?1,?2,L,?n),
A?U?U?1.
为A的特征值,且?1（3分）即 其中
?1,?2,L,?n?0,?2?0,L,?n?0.则
重庆大学《线性代数Ⅱ》模拟试题(4)
