高等数学大一上学期知识要点

高数总复习(上)

一、求极限的方法：

1、利用运算法则与基本初等函数的极限；

①、定理若limf(x)?A,limg(x)?B,则

(加减运算)lim[f(x)?g(x)]?A?B

(乘法运算)limf(x)gg(x)?AB

f(x)A? (除法运算)若B?0,limg(x)Bnnnlimf(x)?A,lim[f(x)]?[limf(x)]?A推论1:(n为

正整数)

推论2:limcf(x)?c[limf(x)]

?a0?b,当m?n ②结论1:0a0xm?a1xm?1?L?am?1x?am??lim??0,当m?nx??bxn?bxn?1?L?bx?b01n?1n??,当m?n???结论2:

f(x)是基本初等函数，其定义区间为D，若x0?D，则

2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质；

lim①定义1:若x?x0f(x)?0或（limf(x)?0）

x??则称

f(x)是当x?x0(或x??)时的无穷小.

定义2:?,?是自变量在同一变化过程中的无穷小:

若lim??1,则称??与?是等价无穷小,记为

?:?.

②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小.

性质2:有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

推论1:常数与无穷小的乘积是无穷小.

推论2:有限个无穷小的乘积也是无穷小.

定理2(等价无穷小替换定理)设

?~??,?~??,

且lim??存在,则 ????????. lim?lim?lim?lim??????(因式替换原则)

常用等价无穷小:

3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则；

①准则I(夹逼准则)若数列xn,yn,zn(n=1,2,…)满足下列条件: