排列组合问题解题思路
首先,怎样分析排列组合综合题?
1)使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某事件时采取的方式而定,分类来完成这件事时用“分类计数原理”,分步来完成这件事时就用“分步计数原理”,怎样确定分类,还是分步骤?“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件,而“分步骤”必须把各步骤均完成才能完成所给事件,所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰,彼此间交集为空集,并集为全集,不论哪类办法都能将事情单独完成,分步计数原理强调各步骤缺一不可,需要依次完成所有步骤才能完成这件事,步与步之间互不影响,即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。
2)排列与组合定义相近,它们的区别是在于是否与顺序有关。
3)复杂的排列问题常常通过试验、画简图、小数字化等手段使问题直观化,从而寻求解题途径,由于结果的正确性难于检验,亦常常需要用不同的方法求解来获得检验。
4)按元素的性质进行分类,按事件发生的连续性进行分步是处理组合问题的基本思想方法,要注意“至少、至多”等限制词的意义。
5)处理排列、组合综合性问题,一般思想是先选元素(组合),后排列,按元素的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”,始终是处理排列、组合问题基本方法和原理,通过解题训要注意积累分类和分步的基本技能。
6)在解决排列、组合综合性问题时,必须深刻理解排列组合的概念,能熟练确定问题是排列问题还是组合问题,牢记排列数与组合数公式与组合数性质,容易产生的错误是重复和遗漏计数。
“16字方针”是解决排列组合问题的基本规律,即:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合。
“12个技巧”是迅速解决排列组合的捷径,具体方法与运用如下:
一.特殊元素的“优先排列法”:对于特殊元素的排列组合问题,一般先考虑特殊元素,
再考其他的元素。
二.总体淘汰法:对于含否定的问题,还可以从总体中把不合要求的除去。
三.合理分类与准确分步:含有约束条件的排列组合问题,按元素的性质进行分类,按事情发生的连续过程分步,做到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏。
四.相邻问题用捆绑法:对于某些元素要求相邻的排列问题,先将相邻接的元素“捆绑”起来,看作一“大”元素与其余元素排列,然后再对相邻元素内部进行排列。
五.不相邻问题用“插空法”:对某几个元素不相邻的排列问题,可将其他元素排列好,然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。
六.顺序固定用“除法”:对于某几个元素按一定的顺序排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列,然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。
七.分排问题用直接法:把几个元素排成若干排的问题,可采用统一排成一排的排方法来处理。
八.试验:题中附加条件增多,直接解决困难时,用试验逐步寻找规律。
例.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4,的方格中,每方格填1个,方格标号
与所填数字均不相同的填法种数有( )
A,6 B.9 C.11 D.23
解:第一方格内可填2或3或4,如第一填2,则第二方格可填1或3或4,若第二方格内填1,则后两方格只有一种方法;若第二方格填3或4,后两方格也只有一种填法。一共有9种填法,故选B
九.探索:对于情况复杂,不易发现其规律的问题需要认真分析,探索出其规律;
例.从1到100的自然数中,每次取出不同的两个数,使它们的和大于100,则不同的取法种数有多少种。
解:两个数相加中以较小的数为被加数,1+100>100,1为被加数时有1种,2为被加数有2种,?,49为被加数的有49种,50为被加数的有50种,但51为被加数有49种,52为被加数有48种,?,99为被捕加数的只有1种,故不同的取法有(1+2+3+?+50)(49+48+?++1)=2500种
十.消序
例。4个男生和3个女生,高矮不相等,现在将他们排成一行,要求从左到右女生从矮到高排列,有多少种排法。
解:先在7个位置中任取4个给男生,有A7种排法,余下的3个位置给女生,只有一种排法,故有A7种排法。
十一.住店法:解决“允许重复排列问题”要区分两类元素,一类元素可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作店,再利用分步计数原理直接求解称“住店法”;
例.7名学生争五项冠军,获得冠军的可能种数有( )
A. 7种 B. 5种 C. A7种 D. C7种
解.七名学生看作七家“店”,五项冠军看作5名“客”,每个客有7种住法,由分步计数原理可得7种,故选A
十二.对应
例.在100名选手之间进行单循环淘汰赛(即一场失败要退出比赛)最后产生一名冠军,要比几场?
解.要产生一名冠军,要淘汰冠军以外的所有选手,即要淘汰99名选手,要淘汰一名就要进行一场,故赛99场。
以上十二种方法是解决一般排列组合问题常用方法,数学是一门非常灵活的课程,解题法仅仅限于这“12个技巧”,此外,常用的还有“隔板法”,“倍缩法”。
排列组合问题中的数学思想方法也是用得多的(教师点评:这句可改为“排列组合问题中蕴藏着数学思想方法”)
一.分类讨论的思想:许多“数数”问题往往情境复杂,层次多,视角广,这就需要我
5445755们在分析问题时,选择恰当的切入点,从不同的侧面,把原问题变成几个小问题,分而治之,各种击破。
例.已知集合A和集合B各含有12个元素,A?B含有4个元素,求同时满足下列条件的集合C的个数:
1)C?A?B且C中含有3个元素,2)C?A??
?解:如图,因为A,B各含有12个元素,A?B含有4个元素,所以A?B中的元素有12+12-4=20个,其中属于A的有12个,属于A而不属于B的有8个,要使C?A??,则C中的元素至少含在A中,集合C的个数是:1)只含A中1个元素的有C12C8;2)含A中
12 8 4 8 2个元素的有C12C8;3)含A中3个元素的有C12C8,故不求的集合C的个数共有
12130C12C82+C12C8+C12C8=1084个
2130二.等价转化的思想:很多“数数”问题的解决,如果能跳出题没有限定的“圈子”,根据题目的特征构思设计出一个等价转化的途径,可使问题的解决呈现出“要柳暗花明”的格局。
1.具体与抽象的转化
例.某人射击7枪,击中5枪,问击中和末击中的不同顺序情况有多少种?
分析:没击中用“1”表示,击中的用“0”表示,可将问题转化不下列问题:数列
a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7有两项为0,5项是1,不同的数列个数有多少个?
解:1)两个0不相邻的情况有C6种,2)两个0相邻的情况有C6种,所以击中和末击中的不同顺序情况有C6+C6=21种。
2)不同的数学概念之间的转化
例.连结正方体8个顶点的直线中,为异面直线有多少对?
分析:正面求解或反面求解(利用补集,虽可行,但容易遗漏或重复,注意这样一个事实,每一个三棱锥对应着三对异面直线,因而转化为计算以正方体顶点,可以构成多少个三棱锥)
解:从正文体珠8个顶点中任取4个,有C8种,其中4点共面的有12种,(6个表面和6个对角面)将不共面的4点可构一个三棱锥,共有C8-12个三棱锥,因而共有3(C8-12)=174对异面直线。
综上所述,有以上几种解排列组合的方法,此外,当然也还有其他的方法要靠我们去发现和积累,我们要掌握好这些方法,并且能够灵活运用,这样,在日常生活中,我们们能轻易解决很多问题。
教师点评:对排列组合问题的处理方法总结得很细、很全面,而且挖掘出其中所蕴藏的
4442121数学思想方法,对学习排列组合有一定的指导性。
1、文氏图:
在文氏图中,以下图形的含义如下: 矩形:其内部的点表示全集的所有元素; 矩形内的圆(或其它闭曲线):表示不同的集合; 圆(或闭曲线)内部的点:表示相应集合的元素。
2、三交集公式:A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+A∩C-A∩B∩C (A∪B∪C指的是E,A∩B∩C指的是D) 二、应用举例
例:[2005年真题]对某单位的100名员工进行调查,结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛,38人喜欢看戏剧,52人喜欢看电影,既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人,既喜欢看电影又喜欢所戏剧的有16人,三种都喜欢看的有12人,则只喜欢看电影的有:
A22人B28人C30人D36人 【解析】首先,根据题意画出文氏图如下:
A(球迷)=58 B(戏迷)=38 C(影迷)=52 E(员工总数)=100。 A+B+C=58+38+52=148 A∪B∪C=100 A∩B=18 B∩C=16 A∩B∩C=12
然后,根据三交集公式A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+A∩C-A∩B∩C 推出:A∩C=A+B+C-A∪B∪C-A∩B-B∩C+ A∩B∩C =148-100-18-16+12 =26
最后得出:只喜欢看电影的人=C- A∩C-(B∩C- A∩B∩C)=52-26-(16-12)=52-26-4=22
选择A正确。
例1.书架上放有3本不同的数学书,5本不同的语文书,6本不同的英语书。 (1)若从这些书中任取一本,有多少种不同的取法?
(2)若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本,有多少种不同的取法? (3)若从这些书中取不同的科目的书两本,有多少种不同的取法。
解:(1)由于从书架上任取一本书,就可以完成这件事,故应分类,由于有3种书,则分为3类然后依据加法原理,得到的取法种数是:3+5+6=14种。
(2)由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本,需要分成3个步骤完成,据乘法原理,得到不同的取法种数是:3×5×6=90(种)。
(3)由于从书架上任取不同科目的书两本,可以有3类情况(数语各1本,数英各1本,语英各1本)而在每一类情况中又需分2个步骤才能完成。故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种