有限元理论与应用

有限元理论与应用

有限元理论与应用

摘要: 阐述了有限元理论的优点为:物理概念清晰，使用灵活和通用性强，

易于实现自动化。有限元法可以广泛应用于各种形状支座和荷载条件的薄壁结构，并可用于解决一维、二维、三维单元。有限元是数值建模与求解中应用最广泛的一种方法，半个多世纪以来在工程数值计算中发挥了至关重要的作用，广泛地渗透到机械工程等学科的各个分支中。学者奕茂田等说，传统有限元理论成熟，原理简单，并且有强大的商业软件支持，在许多大型工程问题的求解分析中功不可磨，因此对传统有限元的每一点成功改进都将会产生深远的现实意义。 有限元法口前被公认为是一种最强有力且相当完善的结构分析方法。该方法简而言之，就是在力学模型上进行近似的数值计算，即先把连续体简化为有限个单元组成的离散化模型，然后再对离散的模型给出数值解答。

关键词：有限元法 应用 结构分析 一：有限元法的简介

有限元法（FEM）是随着计算机的广泛应用而产生的一种计算方法。它是近似求解一般连续体问题的数值方法。从物理方面看：它是用仅在单元结点上彼此相连的单元组合体来代替等分析的连续体，也即将待分析的连续体划分成若干个彼此相联系的单元。通过单元的特性分析，来求解整个连续体的特性。从数学方面看：它是使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题，使问题大大简化，或者说使不能求解的问题能够求解。一经求解出单元未知量，就可以利用插值函数确定连续体上的场函数。显然随着单元数目的增加，即单元尺寸的缩小，解的近似程度将不断得到改进。如果单元是满足收敛要求的，近似解将收敛于数确解。

有限元方法的主要优点有:(1)物理概念清晰，有限元一开始就从力学角度进

行简化，易于掌握和应用;(2)使用中的灵活性和通用性，有限元对于各种复杂的因素，例如复杂的几何形状(如桥梁中的单室、多室、单箱、多箱、简支、连续等)，任意边界条件，任何支撑情况以及材料的不均匀特性和结构中由不同类型构件组合而成的构件等都能灵活的加以考虑，而不会发生处理上的困难;(3)有限元易于实现自动化，可充分利用电子训一算机来进行结构分析，从而提高效率。

目前较为流行的有限元程序主要有SAP系列、ADINA. NASTRAN. QJX. ANSYS. BSAS等，为有限元方法的椎广和应用，提供了有利的务件。然而，随着结构规模的不断扩大，其分析规模也将不断增大，其单元划分、输入(出)数据及占有内存等也将增多，这样势必造成计算工作量的急剧增多，大大的增高了对计算机内存及外存的需求，并使上机准备过于繁琐，人们往往要花费很多精力去输入数据，而大量的数据输出又为设训一人员选取对自己有用的部分造成较大困难。

有限元方法是一套求解微分力程的系统化数值计算方法，它比传统解法具有理论完整可靠。物理直观意义明确，解题效能强等优点，特别是这种力法适应性强，形式规范，所以近年来在电子计算机的配合下，已推广应用到很多工程技术部门和某些科学领域。有限元法目前被公认为是一种最强有力且相当完善的结构分析方法。该方法简而言之，就是在力学模型上进行近似的数值计算，即先把连续体简化为有限个单元组成的离散化模型，然后再对离散的模型给出数值解答。有限元方法的主要优点有:

1、物理概念清晰，有限元一开始就从力学角度进行简化，易干掌握和应用; 2、使用中的灵活性和通用性，有限元对于各种复杂的因素例如复杂的几何形状(如桥梁中的单室、多室、单箱、多箱、简支、连续等)，任意边界条件，任何支撑情况以及材料的不均匀特性和结构中由不同类型构件组合而成的构件等都能灵活的加以考虑，而不会发生处理上的困难;

3、有限元易于实现自动化，可充分利用电子计算机来进行结构分析，从而提高效率。 有限元法求解步骤

对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元求解法的基本步骤是相同的，只是具体公式推导和运算求解不同。有限元求解问题的基本步骤通常为： 第一步：问题及求解域定义：根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几

何区域。

第二步：求解域离散化：将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域，习惯上称为有限元网络划分。显然单元越小（网格越细）则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量及误差都将增大，因此求解域的离散化是有限元法的核心技术之一。

第三步：确定状态变量及控制方法：一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示，为适合有限元求解，通常将微分方程化为等价的泛函形式第四步：单元推导：对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵（结构力学中称刚度阵或柔度阵）。

为保证问题求解的收敛性，单元推导有许多原则要遵循。 对工程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约束。例如，单元形状应以规则为好，畸形时不仅精度低，而且有缺秩的危险，将导致无法求解。

第五步：总装求解：将单元总装形成离散域的总矩阵方程（联合方程组），反映对近似求解域的离散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定的连续条件。总装是在相邻单元结点进行，状态变量及其导数（可能的话）连续性建立在结点处。

第六步：联立方程组求解和结果解释：有限元法最终导致联立方程组。联立方程组的求解可用直接法、迭代法和随机法。求解结果是单元结点处状态变量的近似值。对于计算结果的质量，将通过与设计准则提供的允许值比较来评价并确定是否需要重复计算。

简言之，有限元分析可分成三个阶段，前置处理、计算求解和后置处理。前置处理是建立有限元模型，完成单元网格划分；后置处理则是采集处理分析结果，使用户能简便提取信息，了解计算结果。

二：小波有限元的理论研究

有限元法的本质可归结为变分原理和逼近空间的采用狭义的有限元法采用

低阶分片插值多项式作为逼近空间，而广义的有限元可采用更广泛的基函数作为逼近空间。长期以来，有限元的进步与发展都与逼近空间的扩充紧密相连，小波

有限元也不例外。小波函数的伸缩和平移可以表示平方可积实数空间L'-(R)中的所有函数，利用小波函数插值可以获得新的有限元逼近空间。由于小波函数的紧支性，将小波函数引入到传统有限元插值函数中时，所得到的系数矩阵是稀疏阵，通简单预处理，其条件数与维数无关，即

式中K—小波

插值获得的刚度矩阵D-一预处理矩阵D的逆阵数值计算中的预处理技术往往与方程物理背景有密切关系，虽然多种预处理技术已用于实际计算，但其作用机理仍是当前研究难点。通过研究获得小波边界元在求解Laplace方程的Neumann边值问题时，其刚度矩阵的条件数减少一个数量级，由原来的O(N)下降为O(NXN是求解未知数个数)研究获得小波有限元待求方程组系数矩阵的条件数为O(1)，它仅与椭圆算子的形态有关，而与区域精细离散分划无关。研究了周期微分算子的小波预处理技术:提出了非对角阵的小波预处理方法。小波用于数值计算中的优点是其预处理矩阵很容易获得，从而获得高效的迭代速度与稳定的数值解。这不同于传统有限元的网格剖分((h -法)和阶次升高(P一法)中其刚度矩阵条件数呈}N乃增长(P是多项式阶次)，其中加密网格对条件数的影响为:

式中h—网格尺寸

有限元形成的方程是典型的大型稀疏对称正定方程组，求解这类方程组的经典方法是共扼梯度法，从上式看出，随着网格的加密方程的条件数加大，这时共扼梯度法求解效率显著下降，这时需要引入预处理技术。在很多求解方法中预处理矩阵难以寻找，小波数值算法可以克服这个困难，运用小波PCG(Pre一condi-boned conjugate gradient)法求解了三维布局优化问题。

小波有限元的在桥梁工程中应用研究

有限元法可以相当精确地分析任何结构，但自然要花费相当数量的计算机时间(只有其他方法不能胜任，问题较复杂时，这种方法才是合适的，例如，截面为变高度及变宽度的变截面结构，斜交桥梁，不规则的曲线结构，分叉结构等等)。计算结果表明，用有限元法分析等截面结构所需的计算机时间几乎10倍于以折板法分析同样的结构，何况折板法是精确的。有限元法的精度除取决于近似的假定单元性能外，还取决于划分网络线的精细。因此，这种方法的另一个缺点是，在应力梯度较大时需要细分网络。大量的单元也意味着辛苦建立的输人数据伴随

错误的危险;因此，当拟定计算机程序时，必须考虑结构的各部分的网络布置和加载的自动存储与输出。将计算分为两个阶段具有很多好处:首先以某种较快的方法把结构作为整体进行分析;各种不规则的影响(如孔n，加劲等)，它往往在本质上作为整体的结构性能，可留待以后用有限元求解，至于不规则的边界(现在可分成足够密的单元)可运用第一阶段的计算结果作为右边界条件。小波函数具有优良的紧支性及消失矩，在空间是局部化的，使得小波函数可以聚焦到研究对象的任意细节，被数学家和工程师们誉为“数学显微镜”。

有限单元法的主要优点是可以广泛应用于各种形状、支座和荷载条件的薄壁结构，并可用于解决一维、二维、三维单元(撑拉肋条、框架、大块体、基础与地基的共同作用等)，通常采用变异的直接刚度法，此时基本位移量为广义位移。有限单元位移法实质上是里茨法的另一种形式，基本方程可用能量原理导出。但是用“直接法”进行推导，其物理概念更容易使人理解。

首先将连续体象图1那样分害」为有限个小块，即将连续体看成是由这些小块组成。连续体的这种有限大小的组成部分称为有限单元。假想这些单元之间仅在若干个结点(图中黑点)上相互连接。这样，实际的连续体被近似地用离散的单元组合体来代替，这个过程为结构的离散化。

在杆系结构的结构力学中，离散化过程很自然地将杆件作为单元。但在连续体中，离散化就有很大的灵活性。单元的大小可以是任意的，形状也可以是三角形(见图1(a))、四边形、曲边四边形(见图1(b>等;单元之间可以仅在顶点连接，也可以增加别的结点。因此，离散过程中必然会遇到选择什么样的单元类型，大小要由精度的要求、训一算量及计算时间等因素来确定。显然，单元划分的越小，误差也越小;但是计算时间就越长，所需计算量也应越大。通常在应力集中、应力梯度大或需要详细了解的地方，单元要划分得小一些。 连续体被分害」成有限个仅在结点相互连接的单元以后，就可以采用结构力学中位移法或其他方法的思路进行计算。有限元法的主要步骤可以归纳如下。(1)结构离散化，将结构纵、