v1.0 可编辑可修改 选做题部分 极坐标系与参数方程
一、极坐标系
1．极坐标系与点的极坐标
(1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．其中
ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角． 2．极坐标与直角坐标的互化 点M 互化公式
直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ) 题型一 极坐标与直角坐标的互化
?1、已知点P的极坐标为(2,)，则点P的直角坐标为 （ ）
4A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1）
2、设点P的直角坐标为(?3,3)，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系
(0???2?)，则点P的极坐标为（ ）
A．(32,
3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．
4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A．ρ＝cos θ B．ρ＝sin θ C．ρcos θ＝1 D．ρsin θ＝1
3?5?5?3?) B．(?32,) C．(3,) D．(?3,) 4444
5．曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极
1
v1.0 可编辑可修改 轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．
π
6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．
4
题型二 极坐标方程的应用
由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．
π?π3???1.在极坐标系中，已知圆C经过点P(2，4)，圆心为直线ρsin?θ－3?＝－2与极轴的交点，求圆C的直角坐标方程．
?π?
?2.圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C，点P的极坐标为??4，3?，则
|CP|＝________.
π??
?3.在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsin??θ＋4?＝1，圆C的圆心的极坐标
?π?
?是C??1，4?，圆的半径为1.
(i)则圆C的极坐标方程是________； (ii)直线l被圆C所截得的弦长等于________．
π??
?4.在极坐标系中，已知圆C：ρ＝4cos θ被直线l：ρsin??θ－6?＝a截得的弦长为
2
v1.0 可编辑可修改 23，则实数a的值是________．
二、参数方程
1．参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．
(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，
??x＝ft，
求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么，?就是曲线的参数方程．
?y＝gt?
2．常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 直线 圆 椭圆 普通方程 参数方程 ??x＝x0＋tcos α ??y＝y0＋tsin α ??x＝rcos θ????y＝rsin θ??x＝acos φ??y＝bsin φ?y－y0＝tan α(x－x0) x＋y＝r x2y2＋＝1(a>b>0) a2b2222 (t为参数) (θ为参数) (φ为参数) 题型一 参数方程与普通方程的互化 【例1】把下列参数方程化为普通方程： ?x＝3＋cos θ，(1)?
?y＝2－sin θ；
3
1
??x＝1＋2t，(2)?
3
y＝5＋t.?2?
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题型二 直线与圆的参数方程的应用
1、已知直线l??x＝2cos θ＋2，?
?y＝2sin θ?
??x＝1＋t，
的参数方程为?
??y＝4－2t
(参数t∈R)，圆C的参数方程为
(参数θ∈[0,2π])，求直线l被圆C所截得的弦长．
2、曲线C的极坐标方程为：ρ=acosθ（a＞0），直线l的参数方程为：
（1）求曲线C与直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相切，求a值．
3、在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为
，（α为参数），以原点O
为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为
．
（Ⅰ）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程； （Ⅱ）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离最小值．
4
v1.0 可编辑可修改 综合应用 1、曲线??x??2?5t(t为参数)与坐标轴的交点是（ ）
y?1?2t?12151259A (0,)、(8,0) D (0,)、(,0) B (0,)、(,0) C (0,?4)、(8,0)
2??x?2?sin?3、参数方程?（?为参数）化为普通方程为（ ） 2??y?sin?25A．y?x?2 B．y?x?2 C．y?x?2(2?x?3) D．y?x?2(0?y?1) 3．判断下列结论的正误．
(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系( )
π
(2)若点P的直角坐标为(1，－3)，则点P的一个极坐标是（2，－3）( ) (3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线( )
1??x?t?4.参数方程为?t(t为参数)表示的曲线是（ ）
??y?25
高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型
