2021年高三数学第一轮复习《解析几何问题的题型与方法》

解析几何问题的题型与方法

一、知识整合

高考中解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题)，共计30分左右，考查的知识点约为20个左右。 其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法，这一点值得强化。 ．．．．．．．．．．．．．．．1. 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了.

2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.

3． 理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.

4．掌握圆的标准方程：(x?a)2?(y?b)2?r2（r＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方?x?rcos?程?（θ为参数），明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法. ?y?rsin?5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a、b、c、p、e之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法. 二、近几年高考试题知识点分析

高考，各地试题中解析几何内容在全卷的平均分值为27.1分，占18．1％；2001年以来，解析几何内容在全卷的平均分值为29.3分，占19.5％．因此，占全卷近1/5的分值的解析几何内容，值得我们在二轮复习中引起足够的重视．高考试题中对解析几何内容的考查几乎囊括了该部分的所有内容，对直线、线性规划、圆、椭圆、双曲线、抛物线等内容都有涉及．

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（一）．选择、填空题

1． 大多数选择、填空题以对基础知识、基本技能的考查为主，难度以容易题和中档题为主

（1）对直线、圆的基本概念及性质的考查

例1 以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是_________．

（2）对圆锥曲线的定义、性质的考查 是

例2已知点F1(?2,0)、F2(2,0)，动点P满足|PF2|?|PF1|?2. 当点P的纵坐标

1时，点P到坐标原点的距离是 263 （A） （B） （C）3 （D）2

22 2. 部分小题体现一定的能力要求能力，注意到对学生解题方法的考查

例3若过定点M(?1,0)且斜率为k的直线与圆x有交点，则k的取值范围是 （A）0?2?4x?y2?5?0在第一象限内的部分

k?5 （B）?5?k?0（C）0?k?13 （D）0?k?5

x2y2 例4、已知椭圆2?2?1(a?b?0)的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向

abx轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，向量AB与OM是共线向量。 则椭圆的离心率e= ；若Q是椭圆上任意一点， F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2 的取值范围是 。

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（二）．解答题

解析几何的解答题主要考查求轨迹方程以及圆锥曲线的性质．以中等难度题为主，通常设置两问，在问题的设置上有一定的梯度，第一问相对比较简单．

1

例5.已知椭圆的中心在原点，离心率为 ，一个焦点是F（-m,0）(m是大于0的常数).

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（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M. 若MQ?2QF，求直线l的斜率．

本题第一问求椭圆的方程，是比较容易的，对大多数同学而言，是应该得分的；而第二问，需要进行分类讨论，则有一定的难度，得分率不高．

233x2y2.例6、已知双曲线2?2?1的离心率e?，过A(a,0),B(0,?b)的直线到原点的距离是

32ab（1）求双曲线的方程；

（2）已知直线y?kx?5(k?0)交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.

说明：为了求出k的值, 需要通过消元, 想法设法建构k的方程.

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x2例7.设双曲线C：2?y2?1(a?0)与直线l:x?y?1相交于两个不同的点A、B.

a（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：

（II）设直线l与y轴的交点为P，且PA?

5PB.求a的值. 122y?4x,F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点. 例8.给定抛物线C：

（Ⅰ）设l的斜率为1，求OA与OB夹角余弦值；

（Ⅱ）设FB??AF,若??[4,9]，求l在y轴上截距的变化范围.

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解析几何

1. 已知动点到定点(1)求曲线的方程； 重合)，使得

和定直线

的距离之比为，设动点的轨迹为曲线.

两点，试问在轴上是否存在一个定点(与点不

(2)过点作斜率不为0的任意一条直线与曲线交于

.若存在，求出点的坐标，若不存在。说明理由.

x2y22．已知椭圆C：2?2?1?a?b?0?．

ab1（1）若椭圆的离心率为，且过右焦点垂直于长轴的弦长为3，求椭圆C的标准方程；

2b（2）点P?m,0?为椭圆长轴上的一个动点，过点P作斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，试判断

a22PA?PB是为定值，若为定值，则求出该定值；若不为定值，说明原因．

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