第二章 单自由度系统振动
§1-1 概述
单自由度系统的振动理论是振动理论的理论基础。(1)尽管实际的机械都是弹性体或多自由度系统，然而要掌握多自由度振动的基本规律，就必须先掌握单自由度系统的振动理论。此外，(2)许多工程技术上的具体振动系统在一定条件下，也可以简化为单自由度振动系统来研究。[举例如下：]
例如：(1)悬臂锤削镗杆；(2)外圆磨床的砂轮主轴；(3)安装在地上的床身等。
[力学模型的简化方法]若忽略这些零部件中的镗杆、主轴和转轴的质量，只考虑它们的弹性。忽略那些支承在弹性元件上的镗刀头、砂轮、床身等惯性元件的弹性，只考虑它们的惯性。把它们看成是只有惯性而无弹性的集中质点。于是，实际的机械系统近似地简化为单自由度线性振动系统的动力学模型。
在实际的振动系统中必然存在着各种阻尼，故模型中用一个阻尼
器来表示。阻尼器由一个油缸和活塞、油液组成。
汽车轮悬置系统等等。
[以上为工程实际中的振动系统]
单自由度振动系统——指
用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。
所有的单自由度振动系统经过简化，都可以抽象成单振子，即将系统中全部起作用的质量都认为集中到质点上，这个质点的质量m称为当量质量，所有的弹性都集中到弹簧中，这个弹簧刚度k称为当量弹簧刚度。以后讨论中，质量就是指当量质量，刚度就是指当量弹簧刚度。
在单自由度振动系统中，质量m、弹簧刚度k、阻尼系数C是振动系统的三个基本要素。有时在振动系统中还作用有一个持续作用的激振力P。
应用牛顿运动定律，作用于一个质点上所有力的合力等于该质点的质量和该合力方向的加速度的乘积。
（牛顿运动定律） （达伦培尔原理）
现取所有与坐标x方向一致的力、速度和加速度为正，则：
??P0sin?t?Cx??kx (牛顿运动定律) m?x（达伦培尔原理：在一个振动体上的所有各力的合力必等于零） （动静法分析：作用在振动体上的外力与设想加在此振动体上的惯性力组成平衡力系）
上式经整理得，
??Cx??kx?P0sin?t m?x可以分为以下几种不同的情况：
（1）单自由度无阻尼自由振动
（2.1）
该式就是单自由度线性振动系统的运动微分方程式的普遍式。它
??kx?0 m?x（2）单自由度有阻尼自由振动
??Cx??kx?0 m?x（3）单自由度无阻尼受迫振动
??kx?P0sin?t m?x（4）单自由度有阻尼受迫振动
??Cx??kx?P0sin?t m?x§2-2 单自由度系统无阻尼自由振动
无阻尼自由振动是指振动系统不受外力，也不受阻尼力影响时所作的振动。其动力学模型如图2.3所示。
图2.3 单自由度系统无阻尼自由振动动力学模型 设质量块的质量为m，它所受的重力为W。弹簧刚度为k，它是弹簧每伸长或压缩一个单位长度所施加的力。
弹簧未受力时的原长为l，挂上质量块后，弹簧的静伸长为?j。此时系统处于静平衡状态，平衡位置为O-O，由静平衡条件得：
k?j?W （2.2）
当系统受到外界某种初始干扰后，系统的静平衡状态受到破坏，则弹性力不再与重力平衡，而产生弹性恢复力，使系统产生自由振动。若取静平衡位置为坐标原点，以x表示质量块的垂直位移，并作为系统的广义坐标，取向下为正。则当质量块离开平衡位置x时，质量块所受的作用力,重力W和弹性力k??j?x?，由于受力不平衡，质量块即产生加速运动。
?
??W?k??j?x???kx m?x
即
??kx?0 m?x
（2.3）
上式即为单自由度系统无阻尼自由振动的运动微分方程式。 现求解上列微分方程，先将（2.3）式改写成：
k???x?0 xm令
?2nk?m则
（这里是有用意的）
????x?0 （2.5） x2n这是一个齐次二阶常系数线性微分方程。
stx?e设是方程的解，代入（2.5）式
?s22??nest?0
?有
s???0
22n?S??i?n （两个不相等的实根）
故方程（2.5）的通解为
x?C1ei?nt?C2e?i?nt?C1?cos?nt?isin?nt??C2?cos?nt?isin?nt??b1cos?nt?b2sin?nt式中:b1?C1?C2;b2?i?C1?C2?（2.6）式表明，单自由度系统无阻尼自由振动包含两个频率相同的简谐振动，而这两个同频率的简谐振动，合成后仍是一个简谐振动，
?2.6?
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