立体几何(向量法)—建系讲义

立体几何(向量法)—建系讲义

立体几何（向量法）—建系

引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。

一、利用共顶点的互相垂直的三条线构建直角坐标系

例1（2012高考真题重庆理19）（本小题满分12分 如图，在直三棱柱ABC?ABC 中，AB=4，

111AC=BC=3，D为AB的中点

（Ⅰ）求点C到平面AABB的距离;

11（Ⅱ）若AB?AC求二面角 的平面角的余弦值. 【答案】解：(1)由AC＝BC，D为AB的中点，得CD⊥AB.又CD

11⊥AA1，故CD⊥面A1ABB1，所以点C到平面A1ABB1的距离为

CD＝BC2－BD2＝5.

(2)解法一：如图，取D1为A1B1的中点，连结DD1，则DD1∥AA1∥CC1.又由(1)知CD⊥面A1ABB1，故CD⊥A1D，CD⊥DD1，所以∠A1DD1为所求的二面角A1－CD－C1的平面角．

因A1D为A1C在面A1ABB1上的射影，又已知AB1⊥A1C，由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D，从而∠A1AB1、∠A1DA都与∠B1AB互余，因此∠A1AB1AA1A1B1

＝∠A1DA，所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A.因此AD＝，即AA2A1B1＝8，1＝AD·AA1得AA1＝22.

2从而A1D＝AA21＋AD＝23.

所以，在Rt△A1DD1中， DD1AA16

cos∠A1DD1＝＝＝.

A1DA1D3