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任意四边形、梯形与相似模型
模型三 蝴蝶模型(任意四边形模型)
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”):
DAS2BS1OS3C
①S1:S2?S4:S3或者S1?S3?S2?S4
②AO:OC??S1?S2?:?S4?S3?
S4蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图,某公园的外轮廓是四边形ABCD,被对角线AC、BD分成四个部分,△
AOB面积为1平方千米,△BOC面积为2平方千米,△COD的面积为3平方千米,公园由陆地面积是6.92平方千米和人工湖组成,求人工湖的面积是多少平方千米?
CBOAD
【分析】 根据蝴蝶定理求得S△AOD?3?1?2?1.5平方千米,公园四边形ABCD的面积是1?2?3?1.5?7.5平
方千米,所以人工湖的面积是7.5?6.92?0.58平方千米
【巩固】如图,四边形被两条对角线分成4个三角形,其中三个三角形的面积已知,
求:⑴三角形BGC的面积;⑵AG:GC??
A2BC1G3D
【解析】 ⑴根据蝴蝶定理,SVBGC?1?2?3,那么SVBGC?6;
⑵根据蝴蝶定理,AG:GC??1?2?:?3?6??1:3. (???)
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【例 2】 四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的
1面积的,且AO?2,DO?3,那么CO的长度是DO的长度的_________倍。
3AODAHODGCCBB 【解析】 在本题中,四边形ABCD为任意四边形,对于这种”不良四边形”,无外乎两种处理方法:⑴利用已
知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决;⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件SVABD:SVBCD?1:3,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢,于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系,转化为边的关系,可以得到第二种解法,但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”,于是可以作AH垂直BD于H,CG垂直BD于G,面积比转化为高之比。再应用结论:三角形高相同,则面积之比等于底边之比,得出结果。请老师注意比较两种解法,使学生体会到蝴蝶定理的优势,从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一:∵AO:OC?S?ABD:S?BDC?1:3, ∴OC?2?3?6, ∴OC:OD?6:3?2:1.
解法二:作AH?BD于H,CG?BD于G.
1∵S?ABD?S?BCD,
31∴AH?CG,
31∴S?AOD?S?DOC,
31∴AO?CO,
3∴OC?2?3?6, ∴OC:OD?6:3?2:1.
【例 3】 如图,平行四边形ABCD的对角线交于O点,△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、
4、4和6。求:⑴求△OCF的面积;⑵求△GCE的面积。
AOGDFC
【解析】 ⑴根据题意可知,△BCD的面积为2?4?4?6?16,那么△BCO和?CDO的面积都是16?2?8,
所以△OCF的面积为8?4?4;
⑵由于△BCO的面积为8,△BOE的面积为6,所以△OCE的面积为8?6?2, 根据蝴蝶定理,EG:FG?S?COE:S?COF?2:4?1:2,所以S?GCE:S?GCF?EG:FG?1:2,
112那么S?GCE?S?CEF??2?.
1?233
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BE.
【例 4】 图中的四边形土地的总面积是52公顷,两条对角线把它分成了4个小三角形,其中2个小三角形的
面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷?
D667AEC7B
【解析】 在VABE,VCDE中有?AEB??CED,所以VABE,VCDE 的面积比为(AE?EB):(CE?DE)。同
理有VADE,VBCE的面积比为(AE?DE):(BE?EC)。所以有SVABE×SVCDE=SVADE×SVBCE,也就是说在所有凸四边形中,连接顶点得到2条对角线,有图形分成上、下、左、右4个部分,有:上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。 即SVABE与VADE的面积ADE?7,所以有VABE?6=SV76比为7:6,SV=公顷,=SV?39?21?39?18公顷。 ABEADE6?76?7显然,最大的三角形的面积为21公顷。
【例 5】 (2008年清华附中入学测试题)如图相邻两个格点间的距离是1,则图中阴影三角形的面积
为 。
ADBC【解析】 连接AD、CD、BC。
则可根据格点面积公式,可以得到?ABC的面积为:1?ADB
OC
43?1?2,?ACD的面积为:3??1?3.5,22?ABD的面积为:2?4?1?3. 24412?S?ABD??3?. 4?71111所以BO:OD?S?ABC:S?ACD?2:3.5?4:7,所以S?ABO?
【巩固】如图,每个小方格的边长都是1,求三角形ABC的面积。
EDABC
【解析】 因为BD:CE?2:5,且BD∥CE,所以DA:AC?2:5,S?ABC?5510,S?DBC??2?. 2?577
【例 6】 (2007年人大附中考题)如图,边长为1的正方形ABCD中,BE?2EC,CF?FD,求三角形AEG的面积.
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AGDAGDFFB【解析】 连接EF.
EC
BEC
1111因为BE?2EC,CF?FD,所以S?DEF?(??)SWABCD?SWABCD.
23212111因为S?AED?SWABCD,根据蝴蝶定理,AG:GF?:?6:1,
22126613所以S?AGD?6S?GDF?S?ADF??SWABCD?SWABCD.
774141322所以S?AGE?S?AED? S?AGD?SWABCD?SWABCD?SWABCD?,
214772即三角形AEG的面积是.
7
【例 7】 如图,长方形ABCD中,BE:EC?2:3,DF:FC?1:2,三角形DFG的面积为2平方厘米,求长
方形ABCD的面积.
AGDFC
AGDFC
BEBE【解析】 连接AE,FE.
3111因为BE:EC?2:3,DF:FC?1:2,所以SVDEF?(??)S长方形ABCD?S长方形ABCD.
53210111因为SVAED?S长方形ABCD,AG:GF?:?5:1,所以SVAGD?5SVGDF?10平方厘米,所以SVAFD?12平
22101方厘米.因为SVAFD?S长方形ABCD,所以长方形ABCD的面积是72平方厘米.
6
【例 8】 如图,已知正方形ABCD的边长为10厘米,E为AD中点,F为CE中点,G为BF中点,求三角
形BDG的面积.
A
EDAEDOFG 【解析】 设BD与CE的交点为O,连接BE、DF.
FGCBC
B
11由蝴蝶定理可知EO:OC?SVBED:SVBCD,而SVBED?SWABCD,SVBCD?SWABCD,
421所以EO:OC?SVBED:SVBCD?1:2,故EO?EC.
3.
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由于F为CE中点,所以EF?1EC,故EO:EF?2:3,FO:EO?1:2. 211由蝴蝶定理可知SVBFD:SVBED?FO:EO?1:2,所以SVBFD?SVBED?SWABCD,
28111那么SVBGD?SVBFD?SWABCD??10?10?6.25(平方厘米).
21616
【例 9】 如图,在?ABC中,已知M、N分别在边AC、BC上,BM与AN相交于O,若?AOM、?ABO和
?BON的面积分别是3、2、1,则?MNC的面积是 .
AMOCBN
【解析】 这道题给出的条件较少,需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解.
根据蝴蝶定理得 S?MON?S?AOM?S?BON3?13??
S?AOB22设S?MON?x,根据共边定理我们可以得 S?ANMS?ABM,?S?MNCS?MBC3?x32?3?2,解得x?22.5. 31??x2
B1B2B3B4B5B6分别【例 10】 (2009年迎春杯初赛六年级)正六边形A1A2A3A4A5A6的面积是2009平方厘米,
是正六边形各边的中点;那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米.
A1B6A6B5A5B1A2B2A3B3A6B5B6A1B1OA2B2A3B3B4A4A5B4A4
【解析】 如图,设B6A2与B1A3的交点为O,则图中空白部分由6个与?A2OA3一样大小的三角形组成,只要求
出了?A2OA3的面积,就可以求出空白部分面积,进而求出阴影部分面积. 连接A6A3、B6B1、B6A3.
设?A1B1B6的面积为”1“,则?B1A2B6面积为”1“,?A1A2B6面积为”2“,那么?A6A3B6面积为?A1A2B6的2倍,为”4“,梯形A1A2A3A6的面积为2?2?4?2?12,?A2B6A3的面积为”6“,?B1A2A3的面积为2.
612根据蝴蝶定理,B1O?A3O?S?B1A2B6:S?A3A2B6?1:6,故S?A2OA3?,S?B1A2A3?,
1?67121所以S?A2OA3:S梯形A1A2A3A6?:12:1:7,即?A2OA3的面积为梯形A1A2A3A6面积的,故为六边形
77.
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)
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