高中数学第二章数列2.3等差数列的前n项和(1)教案新人教A版必修5

2.3.1 等差数列的前n项和（一）

项目 课题 （共 1 课时） 一、知识与技能 掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题. 内容 2.3.1 等差数列的前n项和(一) 修改与创新 二、过程与方法 通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一教学 般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决 目标 问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.三、情感态度与价值观 通过公式的推导过程，展现数学中的对称美，通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感. 教学教学重点 等差数列的前n项和公式的理解、推导及应用. 重、 教学难点 灵活应用等差数列前n项和公式解决一些简单的难点 有关问题. 教学 多媒体课件 准备 教学导入新课

过程 教师出示投影胶片1： 印度泰姬陵(Taj Mahal)是世界七大建筑奇迹之一，所在地阿格拉市，泰姬陵是印度古代建筑史上的经典之作，这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格，是印度伊斯兰教文化的象征. 陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(如下图)，奢华之程度，可见一斑.你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗？(这问题赋予了课堂人文历史的气息，缩短了数学与现实之间的距离，引领学生步入探讨高斯算法的阶段) 生 只要计算出1+2+3+…+100的结果就是这些宝石的总数. 师 对，问题转化为求这100个数的和.怎样求这100个数的和呢？这里还有一段故事. 教师出示投影胶片2：

高斯是伟大的数学家、天文学家，高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说：“现在给大家出道题目：1+2+…100=?” 过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+…+100=5 050.” 教师问：“你是如何算出答案的？” 高斯回答说：因为1+100=101；2+99=101；…；50+51=101，所以101×50=5 050. 师 这个故事告诉我们什么信息？高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？ 生 高斯用的是首尾配对相加的方法.也就是：1+100=2+99=3+98=…=50+51=101，有50个101，所以1+2+3+…+100=50×101=5 050. 师 对，高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5 050了. 高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果. 作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能

从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西. 师 问：数列1，2，3，…，100是什么数列？而求这一百个数的和1+2+3+…+100相当于什么？ 生 这个数列是等差数列，1+2+3+…+100这个式子实质上是求这数列的前100项的和. 师 对，这节课我们就来研究等差数列的前n项的和的问题. 推进新课 ［合作探究］ 师 我们再回到前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案中，在图中我们取下第1层到第21层，得到右图，则图中第1层到第21层一共有多少颗宝石呢? 生 这是求“1+2+3+…+21”奇数个项的和的问题，高斯的方法不能用了.要是偶数项的数求和就好首尾配成对了. 师 高斯的这种“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和，适用于偶数个项，我们是否有简单的方法来解决这个问题呢? 生 有!我用几何的方法，将这个全等三角形倒置，与原图补成平行四边形.平行四边形中的每行宝石的个数均为22个，共21行.则三角形中的宝石个数就是(1?21)?21. 2师 妙得很!这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，

真是太好了!我将他的几何法写成式子就是： 1+2+3+…+21， 21+20+19+…+1， 对齐相加(其中下第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序) 这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”. 现在我将求和问题一般化： (1)求1到n的正整数之和，即求1+2+3+…+(n-1)+n.(注：这问题在前面思路的引导下可由学生轻松解决) (2)如何求等差数列{an}的前n项的和Sn? 生1 对于问题(2)，我这样来求：因为Sn=a1+a2+a3+…+an， Sn=an+an-1+…+a2+a1， 再将两式相加，因为有等差数列的通项的性质：若m+n=p+q，则am+an=ap+aq，所以Sn? n(a1?an).(Ⅰ) 2生2 对于问题(2)，我是这样来求的： 因为Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+…+［a1+(n-1)×d］， 所以Sn=na1+［1+2+3+…+(n-1)］d=na1+即Sn=na1+n(n?1)d, 2n(n?1) d.(Ⅱ) 2［教师精讲］ 两位同学的推导过程都很精彩，一位同学是用“倒序相加法”，后一位同学用的是基本量来转化为用我们前面求得的