复数的三角形式及乘除运算
一、主要内容:
复数的三角形式，模与辐角的概念及几何意义，用三角形式进行复数乘除运算及几何意义. 二、学习要求:
1．熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化，会求复数的模、辐角及辐角主值. 2．深刻理解复数三角形式的结构特征，熟练运用有关三角公式化复数为三角形式. 3．能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范围（最值）.
4．利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题. 5．注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法. 三、重点:
复数的代数形式向三角形式的转换，复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用. 四、学习建议:
1．复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的. 前面已经学习过了复数的另两种表示.一是代数表示，即Z=a+bi(a,b∈R).二是几何表示，复数Z既可以用复 也可以用复平面上的向量来表示.现在需要学习复数的三角表示.既用复数平面上的点Z(a,b)表示，Z的模和辐角来表示，设其模为r，辐角为θ，则Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0). 既然这三种方式都可以表示同一个复数，它们之间一定有内在的联系并能够进行互化.
r=三角形式代数形式
R) Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0) Z=a+bi(a,b∈
复数三角形式的结构特征是:模非负，角相同，余弦前，加号连.否则不是三角形式.三角形式中θ应是复数Z的一个辐角，不一定是辐角主值. 五、基础知识 1）复数的三角形式
①定义：复数z=a+bi （a,b∈R）表示成r （cosθ+ isinθ）的形式叫复数z的三角形式。即z=r（cos θ+ isinθ）
z?r θ为复数z 的辐角。 其中 ②非零复数z辐角θ的多值性。 ?
?
oz轴正半轴为以oxθ叫复数z=a+bi的辐角始边，向量 所在的射线为终边的角?的辐因此复数
z2k（k∈z） +角是θ
③辐角主值 的辐角主值。表示复数zz 表示法；用arg ?
??2argz??0 θ2）的角叫辐角主值， [0定义：适合
z的辐角主值是确定的，唯一的。 唯一性：复数r?z ④不等于零的复数的模 是唯一的。
1
⑤z=0时，其辐角是任意的。
⑥复数三角形式中辐角、辐角主值的确定。（求法）
这是复数计算中必定要解决的问题，物别是复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等运算，尤其是逮美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用。因此复数化三角式是复数运算中极为重要的内容（也是解题术）复数在化三角式的过程中其模的求法是比较容易的。辐角的求法，辐角主值的确定是难点，也是关键存在，这个专题只简单归纳复数辐角及辐角主值的求法。 2）复数的向量表示
在复平面内与复数z、z对应的点分别为z、z（如图） 2121?
z对应于oz 何量 11?zoz对应于 何量 22?zz?zz对应于z? 何量 1212? oz z
对应的向量为 与复数z－ 12 oz∥zz 显然21θ∠xoz= 则argz= 111θ==∠xozargz2
22
－ θ∠xoz=z）=arg z=zarg（z12
）复数运算的几何意义 3 主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化
θ）+cosθisin z=r（θ 如z=r（cosθ+isin）21122112··)] +θ)+isin(z=rθr[cos(θ+ ①乘法：z=zθ 2211212 1???ozozoz 如图：其对应的向量分别为 21
θ显然积对应的辐角是θ+21? ?ozozr的角模变为则由逆时针旋转θ< 1 > 若θ> 0 222
11?
oz· 倍所得向量便是积z。z=z的向量21 ?? oz·r角模变为则由向量< 2 >若θ< 0 r顺时
针旋转22112?oz· 。z=z的向量z所得向量便是积21β+ 对应的辐角就是α=z z z求的辐角为 为此，若已知复数zα，z的辐角为βα+β时便可求出z·a2121 这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。rz????11)]?z??isin(?[cos(??)?zz? ） z≠0 ②除法 （其中2
221121
rz22 除法对于辐角主要是“相减”（被除数的辐角一除数的辐角）依向量旋转同乘法简述如
下： ?
?
??角oz顺时针旋转0?时 < 1 >。 12２? ??角oz0?时逆时针旋转 < 2 >。 1２２ 2
例1．下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式:
=cosθ-isinθ (3) Z=-sinθ+icosθ (2) Z (1) Z=-2(cosθ+isinθ)312 (4) Z=-sinθ-icosθ (5) Z=cos60°+isin30° 54 分析:由三角形式的结构特征，确定判断的依据和变形的方向.变形时，可按照如下步骤进行:首先确定复数Z对应点所在象限（此处可假定θ为锐角），其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角.此步骤可简称为“定点→定名→定角”.这样，使变形的方向更具操作性，能有效提高解决此类问题的正确率.
解:（1）由“模非负”知，不是三角形式，需做变换:Z=Z(-cosθ-isinθ) 1 复平面上Z(-2cosθ,-2sinθ)在第三象限（假定θ为锐角），余弦“-cosθ”已在前，不需再变换三角函数名称，1因此可用诱导公式“π+θ”将θ变换到第三象限.∴Z=Z(-cosθ-isinθ)=2[cos(π+θ)+isin(π+θ)]
1
（2）由“加号连”知，不是三角形式
(cosθ,-sinθ)在第四象限（假定θ为锐角），不需改变三角函数名称，可用诱导公式 Z 复平面上点2“2π-θ”或“-θ”将θ变换到第四象限.
=cosθ-isinθ=cos(-θ)+isin(-θ)或Z=cosθ-isinθ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ) Z∴ 22 考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一. （3）由“余弦前”知，不是三角形式
复平面上点Z(-sinθ,cosθ)在第二象限（假定θ为锐角），需改变三角函数名称，可用诱导公式 3
“+θ”将θ变换到第二象限.
+θ)+isin(+θ) sinθ,cosθ)=cos( ∴Z(- 3
θ)+isin(π-θ) osθ=cos(π-4 同理（）Z=-sin
θ-ic 4
+isin) ·)=(cos=cos60° （5）Z+isin30°
=+isin+(cosi=(1+i)=5 小结:对这类与三角形式很相似的式子，如何将之变换为三角形式，对于初学者来讲是个难点.有了“定点→定名→定角”这样一个可操作的步骤，应能够很好地解决此类问题.
例2．求复数Z=1+cosθ+isinθ(π<θ<2π)的模与辐角主值.
分析:式子中多3个“1”，只有将“1”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”.
2
cos<0
+isin)........(1) -1)+2i·sin(coscos 解:Z=1+cosθ+isinθ=1+(2cos=2cos
<<π, ∵ π<θ<2π∴∴ )]+isin(π+)]
(1) ∴式右端=-2cos(-cos-isin)=-2cos[cos(π+ 3
ArgZ= 或r=2cos , argZ= 小结:（1）
, ArgZ=π++2kπ(k∈∴ Z) r=-2cos
argZ=π+. ∴ π<π+<2π ，<<π ∴ ∵
式右端从形式上看似乎就是三角形式.不少同学认为 错误之处在于他们没有去考虑θ角范围，因此一定要用“模非负，角相同，余弦前，加号连”来判断是否为=1+cosθ-isinθ(π<θ<2π)等类似问题. Z，.三角形式看了这道例题，你一定能解决如Z=1-cosθ+isinθ(π<θ<2π) 21
(π<θ<3π)化为三角形式，并求其辐角主值Z=. 例3．将 分析:三角形中只
有正余弦，因此首先想到“化切为弦”.下一步当然是要分母实数化，再向三角形式转化.
==cos2θ+isin2θ = 解 :=
∴<2θ<6π, ∵π<θ<3π,
∴π<2θ-4π<2π，∴ argZ=2θ-4π
小结:掌握三角变形是解决这类问题的根本.但在此之前的解题方向一定要明确，即要分析式子结构.比较其与三角形式的异同，从而决定变形的方向，采用正确的方法.要求学生做好每道例题后的反思，并能由此及彼，举一反三，达到熟练解决一类问题的目的，如1-itgθ, tgθ+i, i-ctgθ等.
2．复数Z的模|Z|的几何意义是:复平面上点Z到原点距离，复数模|Z-Z|的几何意义是:复平面上两点Z，112 以向量所在射线为终边的角记为ArgZ.在[0，2π)范围Z之间距离.辐角几何意义是:以x轴正半轴为角始边，2内的辐角称辐角主值，记为argZ.
要求学生不仅要理解以上所说各几何意义，还要运用几何意义去解决相关问题.
例4．若Z∈c，|Z-2|≤1，求｜Ｚ｜的最大，最小值和argZ范围. 解:法一，数形结合
为半径的圆面（包括圆周），10）为圆心，，由|Z-2|≤1，知Ｚ的轨迹为复平面上以（2
. |Z|表示圆面上任一点到原点的距离 =3, |Z||Z|=1, 显然1≤|Z|≤3, ∴ minmax ，|CA|=1|OC|=2知，OAOB，A，B为切点，由 另设圆的两条切线为
[[0,]∪π,2π) AOC= ∠∠，∴
BOC=argZ∈ R) Z=x+yi(x,y∈|Z| 法二:用代数形式求解的最大，最小值，设22 ≤1, +y则由 |Z-(x-2)2|≤1得 4
222
=, ∴≤|Z|=
≤1, ∴-1≤x-2≤1, ∴1≤x≤3, ≤1, ∴(x-2)+y(x-2) ∵
∴ 1≤4x-3≤9, ∴1≤|Z|≤3.
小结:在一题多解的基础上，分析比较各种方法的异同，如何做好方法的选择.各种方法的本质和优势，通过分析与比较都一目了然.
arg(Z+3)=π,求|z+6|+|z-3i|满足最小值. 例5．复数Z
由两个复数模的和取最小值，联想到一个点到两个定点距离和的最小分析:
值，将之转化为几何问题来解决应比较简便. |Z+6|+|Z-3i|=|(z+3)-(-3)|+|(Z+3)-(3+3i)|
D点，表示复数时，，取Z+3为C(3,3)连结，BC连线与OA交点为D 将B(-3,0)与
而，∠ xOA=由π,arg(Z+3)=π,知Z+3的轨迹是一条射线OA 解法一:
=3所求最小值 . |Z+6|+|Z-3i|=|BD|+|DC|=|BC|=3, ∴
的轨迹是射线π, 知 法二:由Z+3arg(Z+3)= ，Z轨迹应是平行于OAOA，则 BM， 且过点（-3，0）的射线上点到点就表示射线BM Q(0,3)距离之和，连∴ |Z+6|+|Z-3i|P(-6,0)和点 N点表示复数时，交于点N，取E为结PQ与射线BM
复数的三角形式及乘除运算
