余数定理在因式分解中的应用

余数定理在因式分解中的应用

1 引言

多项式因式分解是代数式变形的基础，是把一个多项式化成若干个整式乘积的形式．它是初等数学知识中最重要的方法之一．它作为数学的一种有力工具，在代数、几何、三角的解题中起着重要的作用．在初等代数中已经介绍了一些分解因式的基本方法，本文主要是通过对余数定理的深入探讨及证明， 由余数定理寻找因式入手，结合待定系数法、综合除法等来初步寻求解决整系数一元多项式、齐次对称多项式、齐次轮换式等一些具有特殊形式的多项式的因式分解方法．

2 余数定理

2.1 余数定理

定理2.1.1 用一次多项式x?c（x?p）除多项式f(x)（f(x)?p(x)）所得的余式R等于当x?c时f(x)的值f(c)．即R?f(c)．

证明 设f(x)为被除式，x?c为除式，q(x)为商，R为余式．则

f(x)?q(x)(x?c)?R.

因为x?c为一次式， 所以R为常数，即不论x取何值，R值不变． 所以令x?c得

f(c)?q(c)(c?c)?R．

即f(c)?R 证毕.

例如求x?2除多项式f(x)?2x?x?2x?9的余数，利用余数定理可得余数

32R?f(2)?2?23?22?2?2?9?25

2.2 带余除法及综合除法求余式

用带余除法求出x?c除f(x)所得的余式．根据余数定理这个余式即为f(x)当x?c时的值．

例2.2.1 求x?2除多项式f(x)?2x?x?2x?9的余数． 解

1

322x2x?22x32x3?x25x25x2???5x2x2x8x8x??89?4x2?10x?925?16

所以余数R?25．

还有一个更简单的求多项式余数的方法叫作综合除法． 定义

[2](P1)2.2.1 综合除法是多项式

?axii?0nn?i除以一次式x?a求其所得商式及余数的简便方

法，所得的商式是

?bxii?0n?1n?1?i，余数是r，则b0,b1,?,bn?1与r的求法如下：

a0 aa1ab0b1a2?anabn?1 rb0ab1?b2?其中a0?b0,a1?ab0?b1，…．

例2.2.2 求x?2除多项式f(x)?2x?x?2x?9的商及余数. 解 作综合除法:

3221?2 2916 252410258由此得商及余数分别为2x?5x?8及25．

例2.2.3 求x?2除2x?3x?5x?1的商及余数. 解 作综合除法：

322 ?23?51?426 2?1?372由此得商及余数分别是2x?x?3及7．

注 由此可见，当除式为一次式时用综合除法求余数比用带余除法简单些． 2.3 因式定理

从恒等式f(x)?(x?a)q(x)?r可知：如果f(x)能被x?a整除，必有r?0：反之，如果r?0,

2

那么f(x)能被x?a整除．由此可得因式定理：

定理[5](P70)2.3.1 多项式f(x)有一个因式x?a，则必有f(a)?0，反之若f(a)?0则x?a必为多项式f(x)的一个因式．

例2.3.1 求证f(a)?a?4a?a?6含有因式a?3． 证明 作综合除法：

321?4 31613?3?6

?1?20所以f(3)?0．所以f(a)含有因式a?3． 证毕．

例2.3.2 求证a?b,b?c,c?a都是a(b?c)?b(c?a)?c(a?b)的因式. 证明 设a(b?c)?b(c?a)?c(a?b)?f(a)， 由余数定理，令a?b，则

222222f(b)?b2(b?c)?b2(c?b)?c2(b?b)

?b2(b?c)?b2(b?c)?0

所以a(b?c)?b(c?a)?c(a?b)含有因式a?b． 同理原多项式还含有因式b?c,c?a． 证毕.

2223 一元多项式的因式分解

由因式定理可知，可通过求出多项式f(x)的有理根，运用多项式的根和多项式的一次因式之间的关系对多项式作因式分解．

3.1 观察多项式系数的特点求有理根进行分解 多项式系数的特点

[7](P241)：设f(x)是一个整系数多项式那么

（1）各项系数之和为0时，那么f(x)有1之根；奇次项的系数等于偶次项的系数和时则有-1之根．

（2）各项系数都是正数或都是负数时则f(x)没有正根；奇次项的系数都是正数，偶次项的系数都是负数或奇次项的系数都是负数，偶次项的系数都是正数时f(x)没有负根．

例3.1.1 求复系数多项式f(x)?ix?(2?2i)x?4x?(?2?2i)x?i 的典型分解式． 解 f(x)?i[x?(?2?2i)x?4ix?(2?2i)x?1]．

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