2015年第十三届希望杯五年级第2试答案解析
一．填空题（每小题5分，共60分）
1. 用3、4、7、8这4个数字组成两个两位数(每个数字只能使用一次，且必须使用)，它们的乘积最大是 .
【解析】首先要想让乘积最大，应该先乘数的十位尽量大，所以十位应用7、8.然后根据数字和一定，两数差越小乘积越大，可以知道83和74的差是最小的，因此乘积最大是83?74?6142.
2. 有三个自然数，它们的和是2015，两两相加的和分别是m+1，m+2011和m+2012，则m=____. 【解析】由题意可以知道(m?1)、(m?2011)、(m?2012)三者的和是三个自然数和的2倍， 因此m?1?m?2011?m?2012?2015?2，得出m?2.
3.用1、2、3、5、6、7、8、9这8个数字最多可以组成____个质数(每个数字只能使用一次，且必须使用). 【解析】方法一：由于8个数字中有2个不为2的偶数，这2个数不能在个位，因此可以组成的质数最多有8?2?6（个），经尝试可得2、3、5、7、61、89满足条件，因此最多可以组成6个质数； 方法二：题目要求最多个质数，应该使一位数的质数尽量多，有2、3、5、7；剩下1、6、8、9，我们会发现6和8只要放在个位这个数就不是质数，尝试可以组成61和89这两个质数，因此最多可以组成6个质数.
4. 一次数学竞赛中，某小组10个人的平均分是84分，其中小明得93分，则其他9个人的平均分是____分.
【解析】10个人的总分是84?10?840（分），其他9个人的总分是840?93?747（分），因此其他9个人的平均分是747?9?83（分）.
5. 同时掷4个相同的小正方体(小正方体的六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6)，则朝上一面的4个数字的和有____种.
【解析】朝上一面的4个数字和最大是6?6?6?6?24，最小是1?1?1?1?和之间的情况都有可能出现，因此朝上一面的4个数字和有24?4?1?
4，最小和最大数字
21（种）.
6. 某长方体的长、宽、高(长、宽、高均大于1)是三个彼此互质的自然数，若这个长方体的体积是665，则它的表面积是_____.
【解析】三个彼此互质的自然数乘积是665，则其中必然有一个质数是5，665?5?133，那么133等于另外两个质数的乘积，可以看出133?7?19，那么知道这三个彼此互质的自然数分别是5、7、19，长方体的表面积是(5?7?7?19?5?19)?2?526.
7.大于0的自然数n是3的倍数，3n是5的倍数，则n的最小值是_____.
【解析】若3n是5的倍数，那么n也是5的倍数，由题意可以得到n既是3的倍数，也是5的倍数，所以n的最小值是3?5?15.
8. 从1、2、3、4、5 中任取3个组成一个三位数，其中不能被3整除的三位数有_____个.
【解析】若这个三位数的数字和不能被3整除，那么就不能被3整除.枚举可以知道（1、2、4），（1、2、5），（1、3、4），（1、4、5），（2、3、5），（2、4、5）这6组数字的数字和不能被3整除.那么不能被3整除的三位数有6?A3
9.观察下表中的数的规律，可知第8行中，从左向右第5个数是_____.
3?36（个）.
【解析】前7行共有1?3?5?7?9?11?13?49（个）数，即第7行的最后一个数是49，那么第8
行前5个数分别是50、51、52、53、54，所以从左到右第5个数是54.
10.如果2头牛可以换42只羊，3只羊可以换26只兔，2只兔可以换3只鸡，则3头牛可以换______只鸡. 【解析】根据题意有：2牛=42羊，3羊=26兔，2兔=3鸡，所以可得： 3牛=42?2?3羊=63羊=26?3?63兔=546兔=546?2?3鸡=819鸡.
11.用一根34米长的绳子围成一个矩形，且矩形边长都是整数米，共有_____种不同围法(边长相同的矩形算同一种围法).
【解析】设矩形的长为a，宽为b，且a?b，根据题意可得：a?b?17，由于a、b均为整数，因此（a，
b）的取值有以下8种：（16，1），（15，2），（14，3），（13，4），（12，5），（11，6），（10，7），（9，8）.
12.将五位数“12345”重复写403次组成一个2015位数：“123451234512345?”，从左往右，先删去这个数中所有位于奇数位上的数字，得到一个新数；再删去新数中所有位于奇数位上的数字；按上述规则一直删下去，直到剩下一个数字为止，则最后剩下的数字是______.
【解析】从左到右删去奇数位上的数字，第一次删除后剩余第2，4，6，8，?2k1（k1的数; 第二次删除后剩余第4，8，12，16，?，4k2?1007）位上
?k2?503?位上的数；?第n次删除后剩余第
2n,2n?2,2n?3?位上的数，以此类推最后剩余的一定是210?1024位上的数字
（2110245?204?4???2048?2015），1，所以最后剩余的数字应为4.
二、解答题（每个小题15分，共60分），每题都要写出推算过程
13.甲、乙两船顺流每小时行8千米，逆流每小时行4千米.若甲船顺流而下，然后返回；乙船逆流而上，然后返回.两船同时出发，经过3小时同时回到各自的出发点，在这3小时中有多长时间甲、乙两船同向航行？
【解析】设甲船顺水航行x小时，则逆水航行
?3-x?小时，根据题意列方程得：
8x?4?3?x?，解得：x?1，甲船出发后顺水航行1小时后逆水航行2小时；同理可求出乙船出发后
逆水航行2小时后顺水航行1小时.因此出发后的第2个小时甲、乙两船均逆水，有1小时行船方向相同. 14．图中有多少个三角形？
图1 【解析】设最小的三角形面积为1， 图中面积为1的三角形有16个；
面积为2的三角形有4?4+8=24（个）； 面积为4的三角形有4?4+4=20（个）； 面积为8的三角形4+4=8（个）； 面积为16的三角形有4个；
所以共有16+24+20+8+4=72（个）.
15.如图2，在一个平行四边形纸片上剪去甲、乙两个直角三角形.甲直角三角形的两条直角边边分别为8cm和5cm. 乙直角三角形的两条直角边边分别为6cm和2cm.求图中阴影部分的面积.
图2
【解析】如下图所示，延长CP与DF垂直于F，DF与AH交于E，由于ABCD为平行四边形，则直角三角形CFD与甲三角形相等，直角三角形AED与乙三角形相等，阴影部分的面积为直角三角形CFD与直角三角形AED面积之和减去长方形EFPH，可得EF=5-2=3cm,EH=8-6=2cm,则阴影部分的面积为 8×5÷2+6×2÷2-3×2=20(平方厘米).
16. 有158个小朋友排成一排，从左边第一个人起（第一个人发一个苹果），每隔1人发一个苹果，又从右边第一个人起（第一个人发一个香蕉），每隔2人发一个香蕉，求没有得到水果的小朋友的人数. 【答案】52人
【解析】由于从左边第一个人起（第一个人发一个苹果），每隔1人发一个苹果，即每2个人1个周期，158能被2整除，相当于从右边起（第一个人不发苹果），每隔1人发一个苹果，又从右边第一个人起（第一个人发一个香蕉），每隔2人发一个香蕉，发香蕉的周期为3，则从右边起每6个人为一个周期，发的水果数如下：
苹果 香蕉 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 可以发现每个6个人的周期中共有2人没发水果，158÷6=26?? 2，剩余的2人均发了水果，则没发水果的一共有26×2=52（人）.
2015年第十三届希望杯五年级第2试答案解析
