（2）甲厂产品30箱，每箱100个，废品率为0.06，故共有甲厂产品100?30?3000个，其中次品3000?0.06?180个；乙厂产品20箱，每箱120个，废品率为0.05，故共有乙厂产品120?20?2400个，其中次品2400?0.05?120个；两厂产品混到一起，共有产品3000+2400=5400个，其中有次品180+120=300个，所以，从中任取一个为废品的概率是
P(B)?3001??0.056. 5400187．甲袋中有3只白球4只红球，乙袋中有5只白球2只红球．从甲袋中任取2球投入乙袋，再从乙袋中任取2球．求最后取出的2球全是白球的概率．
解 设Ai表示“第一次取到i只白球”?i?0,1,2?，B表示“第二次取到2只均为白球”，
则
i2?iC3C4 A0,A1,A是的一个分割．且PA???i??i?0,1,2?，即 22C7241P?A0??,P?A1??,P?A2??
777又
P?BA0??故由全概率公式，可得
557,P?BA1??,P?BA2?? 181212 P?B???P?Ai?P?BAi?
i?02 ?254517?????0.?400 8.7187127128．设一箱产品共100件，其中次品个数从0到2是等可能的．开箱检验时，从中随机抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收．
（1）求该箱产品通过验收的概率；
（2）若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率．
解（1）设Ai表示“次品个数为i?i?0,1,2?”，B表示“该箱产品通过验收”．则由题
意，
有
1P?A0??P?A1??P?A2??
3
19C1CPBA0?0,PBA1?1099?0.1C100?????PBA2?由全概率公式，得
?CC?CC21?.10C1001101299822898
P?B??P?A0?PBA0?P?A1?PBA1?P?A2?PBA2
??????11121 ??0??0.1???0.10
333110于是该箱通过验收的概率为
P?B??1?P?B??1?0.10?0.9.
(2) 所求概率为
P?A0B??P?A0?P?BA0?P?B?
?P?A0?P?B??10.9?0.37. 3
习题1.5
1. 设0?P(B)?1，证明A 、B相互独立的充分必要条件是
P(A|B)?P(A|B)?1
证明 充分性 因为
P(A︱B)?＋?P(A|B) = 1
即
P?AB??1?PAB?故有
???P?A BP?AB?P?AB?P?A??P?AB??? P?B?1?P?B?P?B? ? P?AB???1?P?B????P?B???P?A??P?AB???
?P?ABB ??P??A?P? 即A、B相互独立．
必要性
因为A、B相互独立，则有
P?AB??P?A?P?B?,P?AB??P?A?P?B?
从而
P?AB?P?AB?P?AB???P?A?,PAB??P?A?
P?B?P?B???即
P?AB??PAB?P?A??P?A??1
2. 甲、乙、丙三门炮向同一飞机射击．设甲、乙、丙射中的概率分别为0.4 、0.5 、0.7 ，又设若只有一门炮射中，飞机坠毁的概率为0.2 ；若有二门炮射中，飞机坠毁的概率为0.6 ；若三门炮射中，飞机坠毁的概率为0.8 ；无人射中，飞机不会坠毁．求飞机坠毁的概率．
解 设B?“飞机坠毁”，Ai?“i门炮弹射中飞机”?i?1,2,3?．显然，A1,A2,A3构成完备事件组．三门炮各自射击飞机，射中与否相互独立，按加法公式及乘法公式，得
??P?A1??0.4??1?0.5???1?0.7???1?0.4??0.5??1?0.7?
??1?0.?4???1?0.?50.?7 0.36P?A2??0.4?0.5??1?0.7??0.4??1?0.5??0.7??1?0.4??0.5?0.7?0.41
P?A3??0.4?0.5?0.7?0.14
再由题意知
PBA1?0.2,PBA2?0.6,PBA3?0.8 由全概率公式，得
??????6 P?B???P?Ai?P?BAi??0.3?i?130?.20?.41?0.?60?.14 0.80.433. 假设每名射手命中目标的概率都是0.3 ．问须多少名射手同时射击，方能以0.99以上的概率击中目标？
解 设有n名射手同时射击，则目标被击中的概率为
?P(k)?1?P(0)
nnk?1n由题意，求n，使
1?Pn(0)?0.99
即
1?0.n7?可得
0.9?9 n? 0.7
n?13.
4. 某商家对其销售的笔记本电脑液晶显示器作出如下承诺：若一年内液晶显示器出现重大质量问题，商家保证免费予以更换．已知此种液晶显示器一年内出现重大质量问题的概率为0.005 ，试计算该商家每月销售的200台电脑中一年内须免费予以更换液晶显示器的台数不超过1的概率．
解 根据题意，这是一个p?0.005的200重的伯努利试验问题，所求概率为
?P P20(00)?)20(012000.99?5C12?000?.0051 90.995 ?0.367?00.3?688 0.5. 某工厂生产的仪器中一次检验合格的占60?％ ，其余的需重新调试．?经重新调试的产品中有80?％ 经检验合格，而20?％ 会被判定为不合格产品而不能出厂．现该厂生产了200台仪器，求下列事件的概率：
（1） 全部仪器都能出厂； （2） 恰有10台不合格.
解 设A?“仪器需要重新调试”，那么A?“仪器能直接出厂”； 又设B?“仪器能出厂”，则AB?“仪器经调试后能出厂”，且易知 B?AAB.于是
P?B??P?A??P?AB? ?P?A??P(A)?P(B|A)?0.6?0.4?0.8?0.92
考察200台仪器，相当于p?P(B)?0.92的200重伯努利试验，则
（1）P200(200)?0.92200?57?10?9
10（2）P?X?190??C200?0.92190?0.0810?0.0318.
6. 某厂的产品，80?％ 按甲工艺加工，20?％ 按乙工艺加工，?两种工艺加工出来的产品的合格率分别为0.8与0.9 ．现从该厂的产品中放回地取5件来检验，求其中最多只有一件次品的概率．
解 设A?“产品是按甲工艺加工的”，那么A?“产品是按乙工艺加工的”；又设B?“取出一件产品为次品”，则 由全概率公式，得
P?B??P?A??P?BA??PA?PBA
?0.8?0.?2????0.?20.?1
现从该厂的产品中放回地取5件来检验，相当于p?P(B)?0.18的200重伯努利试验，则所求概率为
P5(0)?P5(1)
1?C5?10.18?0.82 ?C50?0.180?0.825
?0.370?7
0.4?069 0综合练习一
一 填空题
1.将一颗骰子连掷两次，该试验的样本空间为（???(i,j)|i,j?1,2,3,4,5,6? ）. 2.三事件A、B、C至多发生两个可表示为（ABC或A3.若事件A与B互斥，P(A)?0.6,P(ABC）.
B)?0.8，则P(B)?（ 0.4. ）.
4. 已知两个事件A和B满足条件P(AB)?P(A?B)且P(A)?p，则P(B)? ( 1?p ).
5.设A,B为二随机事件，P(A)?0.6,P(A?B)?0.2，则P(AB)?（ 0.6 ）. 6.将一枚硬币连掷两次，则出现一次正面一次反面的概率为（
1 ）. 2B?)0.8，则
B)?0.4,PA(7. 已知两个随机事件A和B满足条件P(A)?0.5,P(P(AB)? ( 0.4 ).
8.设5产品中有2件不合格品, 从中任取两件, 已知所取两件产品中有一件是不合格品, 则另一件也是不合格品的概率为（
1 ）. 79.设某系统由元件A和两个并联的元件B,C串联而成，若A、B、C损坏与否相互独立, 且它们损坏的概率依次为0.3, 0.2, 0.1, 则系统正常工作的的概率为（ 0.089. ）.
10.将一只骰子连续掷3次，则至少有一次出现3点的概率为（
91 ） . 216
概率论与数理统计课后习题答案
