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等比数列知识点总结与典型例题+答案

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等比数列知识点总结与典型例题

1、等比数列的定义:2、通项公式:

an?a1qn?1?a1nq?A?Bn?a1?q?0,A?B?0?,首项:a1;公比:q qan?q?q?0??n?2,且n?N*?,q称为公比 an?1推广:an?amqn?m?qn?m?3、等比中项:

ana?q?n?mn amam(1)如果a,A,b成等比数列,那么A叫做a与b的等差中项,即:A2?ab或A??ab 注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个( (2)数列?an?是等比数列?an2?an?1?an?1 4、等比数列的前n项和Sn公式:

(1)当q?1时,Sn?na1 (2)当q?1时,Sn??a1?1?qn?1?q?a1?anq 1?qa1a?1qn?A?A?Bn?A'Bn?A'(A,B,A',B'为常数) 1?q1?q5、等比数列的判定方法:

(1)用定义:对任意的n,都有an?1?qan或an?1?q(q为常数,an?0)?{an}为等比数列 an(2)等比中项:an2?an?1an?1(an?1an?1?0)?{an}为等比数列 (3)通项公式:an?A?Bn?A?B?0??{an}为等比数列 6、等比数列的证明方法:

依据定义:若

an?q?q?0??n?2,且n?N*?或an?1?qan?{an}为等比数列 an?17、等比数列的性质:

(2)对任何m,n?N*,在等比数列{an}中,有an?amqn?m。

(3)若m?n?s?t(m,n,s,t?N*),则an?am?as?at。特别的,当m?n?2k时,得an?am?ak2 注:a1?an?a2?an?1?a3an?2???

等差和等比数列比较:

定义 递推公式 通项公式 中项 A?等差数列 an?1?an?d 等比数列 an?1?q(q?0) anan?an?1q;an?amqn?m an?an?1?d;an?am?n?md an?a1?(n?1)d an?a1qn?1(a1,q?0) an?k?an?k2(n,k?N*,n?k?0) n(a1?an) 2G??an?kan?k(an?kan?k?0)(n,k?N*,n?k?0) Sn?前n项和 n(n?1)Sn?na1?d2 ?na1(q?1)? Sn??a11?qna1?anq?(q?2)?1?q?1?q??重要 性质

am?an?ap? aq(m,n,p,q?N* ,m?n?p?q)am?an?ap?aq (m,n,p,q?N*,m?n?p?q)经典例题透析

类型一:等比数列的通项公式

例1.等比数列{an}中,a1?a9?64, a3?a7?20,求a11.

思路点拨:由等比数列的通项公式,通过已知条件可列出关于a1和q的二元方程组,解出a1和q,可得a11;或注意到下标1?9?3?7,可以利用性质可求出a3、a7,再求a11.

总结升华:

①列方程(组)求解是等比数列的基本方法,同时利用性质可以减少计算量;

②解题过程中具体求解时,要设法降次消元,常常整体代入以达降次目的,故较多变形要用除法(除式不为零).

举一反三:

【变式1】{an}为等比数列,a1=3,a9=768,求a6。

【变式2】{an}为等比数列,an>0,且a1a89=16,求a44a45a46的值。

【变式3】已知等比数列{an},若a1?a2?a3?7,a1a2a3?8,求an。

类型二:等比数列的前n项和公式

例2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,求数列的公比q.

举一反三:

11【变式1】求等比数列1,,,L的前6项和。

39

【变式2】已知:{an}为等比数列,a1a2a3=27,S3=13,求S5.

【变式3】在等比数列{an}中,a1?an?66,a2?an?1?128,Sn?126,求n和q。

类型三:等比数列的性质

例3. 等比数列{an}中,若a5?a6?9,求log3a1?log3a2?...?log3a10.

举一反三:

【变式1】正项等比数列{an}中,若a1·a100=100; 则lga1+lga2+……+lga100=_____________.

827【变式2】在和之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为

32________。

类型四:等比数列前n项和公式的性质

例4.在等比数列{an}中,已知Sn?48,S2n?60,求S3n。

思路点拨:等差数列中也有类似的题目,我们仍然采用等差数列的解决办法,即等比数列中前k项和,第2个k项和,第3个k项和,……,第n个k项和仍然成等比数列。

举一反三:

【变式1】等比数列{an}中,公比q=2, S4=1,则S8=___________.

【变式2】已知等比数列{an}的前n项和为Sn, 且S10=10, S20=40,求:S30=?

【变式3】等比数列{an}的项都是正数,若Sn=80, S2n=6560,前n项中最大的一项为54,求n.

【变式4】等比数列{an}中,若a1+a2=324, a3+a4=36, 则a5+a6=_____________.

【变式5】等比数列{an}中,若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求a7+a8+a9的值。

类型五:等差等比数列的综合应用

例5.已知三个数成等比数列,若前两项不变,第三项减去32,则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4,则又成等比数列.求原来的三个数.

思路点拨:恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数,应尽量设较少的未知数,并将其设为整式形式.

总结升华:选择适当的设法可使方程简单易解。一般地,三数成等差数列,可设此三数为

xa-d, a, a+d;若三数成等比数列,可设此三数为,x, xy。但还要就问题而言,这里解法二

y中采用首项a,公比q来解决问题反而简便。

等比数列知识点总结与典型例题+答案

等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义:2、通项公式:an?a1qn?1?a1nq?A?Bn?a1?q?0,A?B?0?,首项:a1;公比:qqan?q?q?0??n?2,且n?N*?,q称为公比an?1推广:an?amqn?m?qn?m?3、等比中项:ana?q?n?mnamam(1)如果a,A,b成等比数列,那么A叫做a与b的
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