1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点换,简称伸缩变换.
2.极坐标系的概念 (1)极坐标系
,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变
如图所示一条射线
,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引
,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其
正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面
直角坐标系都是平面坐标系.
(2)极坐标
设M是平面内一点,极点轴
为始边,射线
与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为
;以极
为终边的角
.
叫做点M的极角,记为.有序数对
叫做点M的极坐标,记作
一般地,不作特殊说明时,我们认为特别地,当点
可取任意实数.
在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,
平面内一个点的极坐标有无数种表示.
如果规定
表示;同时,极坐标
,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示的点也是唯一确定的.
3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:
(2)互化公式:设是
(
是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是
,极坐标
),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点 直角坐标 极坐标 互化公式 在一般情况下,由
确定角时,可根据点所在的象限最小正角.
4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为的圆 圆心为,半径为的圆 圆心为,半径为的圆 (1)
过极点,倾斜角为的直线 (2)
过点,与极轴垂直的直线 过点,与极轴平行的直线
注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即
都表示同一点的坐标,这与点的直角坐
标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至
少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表
示为标满足方程
.
等多种形式,其中,只有的极坐
二、参数方程 1.参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标
都是某个变
数的函数①,并且对于的每一个允许值,由方程组①所确定的点
都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数
的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
2.参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.
(2)如果知道变数
中的一个与参数的关系,例如
,把它代入普通
方程,求出另一个变数与参数的关系在参数方程与普通方程的互化中,必须使
,那么就是曲线的参数方程,
的取值范围保持一致.
注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3．圆的参数 如图所示，设圆
的半径为，点
从初始位置
出发，按逆时针方向在
圆上作匀速圆周运动，设
这就是圆心在原点转过的角度。
，则。
，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是
圆心为，半径为的圆的普通方程是，
它的参数方程为：
4．椭圆的参数方程 以坐标原点
为中心，焦点在
。
轴上的椭圆的标准方程为
其参数方程为，其中参数称为离心
角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为
其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，
2）。
注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角等外（即在到
区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相
的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但
当时，相应地也有
5．双曲线的参数方程 以坐标原点
，在其他象限内类似。
为中心，焦点在轴上的双曲线的标准议程为
其参数方程为
焦点在
轴上的双曲线的标准方程是
，其中
其参数方程为
以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。 6．抛物线的参数方程
以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线
的参数方程为
7．直线的参数方程
经过点，倾斜角为而过
，倾斜角为
的直线的普通方程是
的直线的参数方程为
。
注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点
，倾斜角为
的直
线的参数方程为点，任一点0；当点
在
为终点的有向线段下方时，＜0；当点
，其中表示直线上以定点的数量，当点与
在
为起
上方时，＞
重合时，=0。我们也可以把参
的坐标，
数理解为以为原点，直线向上的方向为正方向的数轴上的点
其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。
极坐标与参数方程知识点总结大全
