上海市各区 2018 届九年级中考二模数学试卷精选汇编：二次函数专题
宝山区、嘉定区
24．（ 本 分 12 已知平面直角坐 系 （1）求 m 、 n 的 ； （2）如果抛物 ；
（3） 点 Q 在直 y 如果 AQO
分，第（ 1）小 4 分，第（ 2）小 4 分，第（ 3）小 4 分）
xOy （如 7），直 y
x m 的 点 A(
4,0) 和点 B(n,3) .
y
x 2 bx c 点 A 、 B ， 抛物 的 点 点 P ，求 sin ABP 的
x m 上，且在第一象限内， 直 y x
DOB ，求点 Q 的坐 .
m 与 y 的交点 点 D ，
y
O x
7
24.解：（ 1） ∵直
y x m 的 点 A( 4,0)
∴ 4 m 0 ???????? 1 分
∴ m 4 ???????????? 1 分 ∵直 y x m 的 点 B(n,3) ∴ n 4 ∴ n
3????????
1 分
1???????????????? 1 分 B 的坐 ( 1,3) （2 ）由可知点
∵抛物 ∴
16
y x 2 bx c 点 A 、 B 4b c 0
1 b c
∴ b 6， c 8 ∴抛物
3
bx c 的表达式
x 2 x ∴抛物 y
6 8 的 点坐
∴ AB 3 2 , AP 2 , PB 2 5
y x 2
y x
2
6 8 ??????? 1 分
x
P( 3, 1)
????? 1 分
∴ AB 2
BP 2 PB 2
∴ PAB 90 ??????????????
AP
∴ sin ABP
PB
∴ sin
1 分
ABP
10 10
????????????????1 分
（3） 点 Q 作 QH x ，垂足 点 H ， QH ∥ y
AQO DOB , OBD QBO ∴△ OBD ∽△ QBO
∵
∴ OB
DB
????? 1 分
QB OB ∵直 y x 4 与 y 的交点 点 D
∴点 D 的坐 (0,4) , OD 4 又 OB
10 ， DB 2
4 2 ????? 1 分
∴ QB
5 2 ， DQ ∵ AB 3 2
∴ AQ 8 2 , DQ 4 2 ∵ QH ∥ y ∴
OD AD QH
AQ
∴4 4 2 QH 8 2
∴ QH
8 ??????????????
即点 Q 的 坐 是 8 又点 Q 在直 y x 4 上
点 Q 的坐 ( 4,8) ????? 1 分
1 分
长宁区
24．（本 分
12 分，第（ 1）小 4 分，第（ 3 2）小 3 分，第（ ）小 5 分）
如 在直角坐 平面内，抛物
y ax2
bx 3
与
y 交于点 A，与 x 分 交于点
B（ - 1， 0）、点
C（3， 0），点 D 是抛物 的 点
.
（ 1）求抛物 的表达式及 点
D 的坐 ；
（ 2） AD、 DC，求 ACD 的面 ；
（ 3）点 P 在直 DC上， OP，若以 O、P、C 点的三角形与△ ABC相似，求点 P
的坐 ．
24. （本题满分 12 分，第（ 1）小题 4 分，第（ 2）小题 3 分，第（ 3）小题 5 分）
解：（ 1）
点 B（- 1， 0）、 C（ 3，0）在抛物线 y ax2
bx 3上
∴
a b 3 0
，解得
a b
1 2
（ 2 分）
9a 3b 3 0
∴抛物线的表达式为 y x 2
2x 3 ，顶点 D 的坐标是（ 1， - 4）
3 2 ， CD
（ 2 分）
（2）∵ A（ 0， - 3）， C（ 3， 0），D（ 1， - 4） ∴ AC
2 5 ， AD2
∴ CD 2 ∴ S ACD
AC 2 AD 2
∴
CAD 90
（3）∵
1 AC AD 1 3 2 2 3. 2 2
AD CAD AOB 90 ， AC
（ 2 分） （ 1 分）
2 ，
BO AO
∴△ CAD∽△ AOB，∴ ACD ∵OA=OC， AOC
∴ OAC OAB
若以 O、 P、 C为顶点的三角形与△
90 ∴ OCA
OAB OAC OCA 45 ACD ，即 BAC BCD
ABC相似 ，且△ ABC为锐角三角形
则 POC 也为锐角三角形，点 P 在第四象限
（ 1 分）
由点 C（ 3，0）， D（ 1， - 4）得直线 CD 的表达式是 y 2x 6 ，设 P(t,2t
6) （ 0 t 3 ）
过 P 作 PH⊥ OC，垂足为点 H，则 OH ①当
t ， PH
6 2t
POC
ABC 时,由 tan
POC tan
ABC 得
PH
OH
AO ，
∴
6
BO
2t 3 ，解得 t
6
②当
POC
1 5 5 t 5ACB 时 ,由 tan POC tan
，∴ P(6
,
18
（ 2 分）
)
ACB
tan 45
1得
PH
∴
6
OH
2t t
1 ，解得 t 2 ，∴ P2 (2, 2)
，1
（ 2 分）
综上得 P1( 6 ,
18
) 或 P2 ( 2, 2)
5 5
崇明区
24．（本题满分 12 分，第 (1) 、 (2) 、 (3) 小题满分各 4 分）
已知抛物线经过点 A(0, 3) 、 B (4,1) 、 C (3, 0) ． （ 1）求抛物线的解析式；
（ 2）联结 AC、BC、 AB，求 BAC 的正切值；
（3）点 P 是 抛物 上一点， 且在第一象限内， 点 P 作 PG AP 交 y 于点 G ，当点 G
在点 A 的上方，且 △ APG 与 △ ABC 相似 ，求点
P 的坐 ．
y
A
B
C
（第 24 题图）
O
x
24．（ 本 分 12 分，每小 4 分） 解：（ 1） 所求二次函数的解析式
y ax2
bx c(a
0) ，????????? 1 分 1, 0,
16a 4b c 9a 3b c c 3.
a
解得
将 A （ 0 , 3 ）、 B （ 4 ，）、 C （ 3
, 0 ）代入，得
1 2 5 2
b
??? 2 分
c 3
所以， 个二次函数的解析式
y
1
x
2
x 3
2
5
??????????? 1 分
2
（ 2）∵ A （ 0 , 3 ）、 B （ 4 ，）、 C （ 3 , 0 ）
∴ AC 3 2 ， BC ∴ AC 2 ∴ ∠ACB
2 ， AB 2 5
BC 2 AB2
90
BC AC
????????????????????? 2 分
∴ tan∠BAC
2 3 2
1 3
?????????????????
2 分
（ 3） 点 P 作 PH ⊥y轴 ，垂足 H
P (x,
1 x2 2
5 x 3) ， H (0, 2
1 x2
2
5 x 3) 2
∵ A （ 0 , 3 ）
∴ AH
1
x 5 x ， PH x
2
2 2
∵ ∠ ACB ∠ APG 90
∴当△ APG 与△ ABC 相似 ，存在以下两种可能：
1°∠PAG
∠CAB
tan∠PAG
tan∠CAB
1 3
即 PH
AH
1
3
∴ 1
2 x
x
5 x
1
3
解得
x
11
????????? 1 分
2 2
∴点 P 的坐 2°∠PAG
(11,36)
∠ABC
???????????????????? 1 分
tan∠PAG x
5 2 )
x
tan∠ABC
17
3
即 PH
AH
3 ∴
1
3
解得 x
x
2
3
?????????? 1 分
2
∴点 P 的坐 (
1744
, 3
????????????????????
1 分
9
奉贤区
24．（本 分 12 分，每小 分各
已知平面直角坐 系
4 分）
xOy （如 8），抛物 y
x2 2mx 3m2 ( m 0) 与 x 交于点
y
A、 B（点 A 在点 B 左 ），与 y 交于点 C， 点 D， 称 直 ， 点 C 作直 的垂 ，垂足 点 （1）当点 C（ 0，3） ， ② 求 ：∠ DCE= ∠ BCE；
E， DC、 BC．
① 求 条抛物 的表达式和 点坐 ；
1
o
1
x
（2）当 CB 平分∠ DCO ，求 m 的 ．
8
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