第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数
最新考纲 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．
知 识 梳 理
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β. cos(α?β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β. tan(α±β)＝
tan α±tan β
.
1?tan αtan β
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α.
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. tan 2α＝
2tan α
.
1－tan2α
3．有关公式的逆用、变形等
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)． (2)cos2α＝
1＋cos 2α1－cos 2α2
，sinα＝. 22
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， ?π?
?. sin α±cos α＝2sin?α±?4?
b??
4．函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)?其中tan φ＝a?
??a??
或f(α)＝a＋b·cos(α－φ)?其中tan φ＝b?.
??
2
2
诊 断 自 测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)
精彩PPT展示
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( )
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) tan α＋tan β
(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β
1－tan αtan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( ) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )
π
解析 (3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠2＋kπ，k∈Z. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 1
2．(2016·全国Ⅲ卷)若tan θ＝－3，则cos 2θ＝( ) 4114A．－5 B．－5 C.5 D.5
cos2θ－sin2θ1－tan2θ4
解析 cos 2θ＝cosθ－sinθ＝2＝＝. cosθ＋sin2θ1＋tan2θ5
2
2
答案 D
11
3．(2015·重庆卷)若tan α＝3，tan(α＋β)＝2，则tan β等于( ) 1155A.7 B.6 C.7 D.6
112－3tan?α＋β?－tan α1
解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝117，故选A. 1＋tan?α＋β?·tan α
1＋2×3答案 A
π1?2??4．(2017·宝鸡调研)已知sin α＋cos α＝3，则sin4－α?＝( ) ??11782
A.18 B.18 C.9 D.9
π118?2??解析 由sin α＋cos α＝3两边平方得1＋sin 2α＝9，解得sin 2α＝－9，所以sin4－α?＝??8?π?
1－cos?2－2α?1－sin 2α1＋9
??17
＝＝＝22218，故选B. 答案 B
5．(必修4P118练习3(2)改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°·cos 58°＝________. 解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°
＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77° 2＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝2. 2答案 2
考点一 三角函数式的化简 【例1】 (1)(2016·合肥模拟)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( ) A．sin(α＋2β) B．sin α C．cos(α＋2β) D．cos α
α??α
cos－sin??1＋sin α＋cos α?·22???
(2)化简：(0<α<π)＝________.
2＋2cos α解析 (1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos α. ααα??αα??
?2cos22＋2sin2cos2?·?cos2－sin2?????
(2)原式＝
α4cos22αα?α?α
cos2?cos22－sin22?cos2cos α
??＝＝. ?α??α??cos2??cos2?????
απα
因为0<α<π，所以0<2<2，所以cos2>0，所以原式＝cos α. 答案 (1)D (2)cos α
规律方法 三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.
【训练1】 (1)2＋2cos 8＋21－sin 8的化简结果是________．
(2)化简：
＝________.
?π?2?π?2tan?4－α?sin?4＋α?
????
12cos4α－2cos2α＋2
解析 (1)原式＝4cos24＋2?sin 4－cos 4?2 ＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|，
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因为4π<4<2π，所以cos 4<0，且sin 4 ?4cos4α－4cos2α＋1?2 (2)原式＝ ?π?2×sin?4－α?π???2??4－α?·cos ???π? cos?4－α????2cos2α－1?2cos22α ＝＝ ?π??π??π?4sin?4－α?cos?4－α?2sin?2－2α? ??????cos22α1 ＝2cos 2α＝2cos 2α. 1 答案 (1)－2sin 4 (2)2cos 2α 考点二 三角函数式的求值 【例2】 (1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin280＝________. sin 2α＋2sin2α7π?π?317π (2)已知cos?4＋α?＝5，12<α<4，则的值为________． ??1－tan α 11 (3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝2，tan β＝－7，则2α－β的值为________． ??cos 10°＋3sin 10° ?·解析 (1)原式＝?2sin 50° ＋sin 10°·cos 10°??13 cos 10°＋22sin 10°2sin 80°＝(2sin 50°＋2sin 10°·)· cos 10°2cos 10°＝22[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)] 3＝22sin(50°＋10°)＝22×2＝6. sin 2α＋2sin2α2sin αcos α＋2sin2α(2)＝ sin α1－tan α 1－cos α2sin αcos α?cos α＋sin α?＝ cos α－sin α1＋tan α?π? ＝sin 2α＝sin 2α·tan?4＋α?. ??1－tan α 17π7π5ππ?π?3 由12<α<4得3<α＋4<2π，又cos?4＋α?＝5， ??44?π??π? 所以sin?4＋α?＝－5，tan?4＋α?＝－3. ???? 2727??π?π?＋α???－?cos α＝cos?4 ?4?＝－10，sin α＝－10，sin 2α＝25. ?sin 2α＋2sin2α28 所以＝－75. 1－tan α tan?α－β?＋tan β (3)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝ 1－tan?α－β?tan β112－71 ＝11＝3>0，又α∈(0，π)， 1＋×27π2tan α ∴0<α<2，又∵tan 2α＝＝ 1－tan2απ ∴0<2α<2， 314＋7tan 2α－tan β ∴tan(2α－β)＝＝ 31＝1. 1＋tan 2αtan β 1－4×71π ∵tan β＝－7<0，∴2<β<π，－π<2α－β<0， 3π ∴2α－β＝－4. 283π 答案 (1)6 (2)－75 (3)－4 规律方法 (1)已知条件下的求值问题常先化简需求值的式子，再观察已知条件与所求值 3 ＝>0， ?1?241－?3? ?? 12×3
北师大文科数学高考总复习教师用书：两角和与差及二倍角的三角函数 含答案
