逆命题与逆定理
知识点： 一、命题
1．概念：对事情进行判断的句子叫做命题．
2．组成部分：命题由题设和结论两部分组成．每个命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，“如果”的内容部分是题设，“那么”的内容部分是结论．
3．分类：命题分为真命题和假命题两种．判断正确的命题称为真命题，反之称为假命题．验证一个命题是真命题，要经过证明；验证一个命题是假命题，可以举出一个反例． 例： “两直线平行，内错角相等”的题设是______，结论是_____它是命题。
练习
1．命题“平行四边形的对角线互相平分”的条件是_____，结论是 ______．
二、互逆命题
1．概念：在两个命题中，如果第一个命的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，则另一个就叫做它的逆命题． 2．说明：
（1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系；
（2）把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题； （3）原命题成立，它的逆命题不一定成立，反之亦然． 例1． 指出下列命题的题设和结论，并写出它们的逆命题．
（1）两直线平行，同旁内角互补； （2）直角三角形的两个锐角互余； （3）对顶角相等．
（1）题设是“两条平行线被第三条直线所截”，结论是“同旁内角互补”；逆命题是“如果两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行”．
（2）题设是“如果一个三角形是直角三角形”，结论是“那么这个三角形的两个锐角互余”；逆命题是“如果一个三角形中两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”． （3）题设是“如果两个角是对顶角”，结论是“那么这两个角相等”；逆命题是“如果有两个角相等，那么它们是对顶角”．
名师点金：当一个命题的逆命题不容易写时，可以先把这个命题写成“如果……，那么……”的形式，然后再把题设和结论倒过来即可．
练习
1．命题“矩形的对角线相等”的逆命题是__________________． 2．命题“如果∠A=65°，∠B=25°，那么∠A与∠B互余”的逆命题是________，它的逆命题是_______(填“真”或“假”)命题． 3．命题“全等三角形的面积相等”的逆命题的条件是___________，结论是_____________．
写出下列命题的逆命题，并判断原命题、逆命题的真假。
1、全等三角形的对应角相等； 2、自然数必为有理数； 3、若|a|＝|b|，则a＝b； 4、若a＝b，则a3?b3；
2x5、若x＝a，则?(a?b)x?ab?0；
解：1、逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形。原命题为真命题，逆命题为假命题；
2、逆命题为：有理数必为自然数。原命题为真命题，逆命题为假命题； 3、逆命题为：若a＝b，则|a|＝|b|。原命题为假命题，逆命题为真命题； 4、逆命题为：若a3?b3，则a＝b。原命题为为真命题，逆命题为真命题；
5、逆命题为：若x2?(a?b)x?ab?0，则x＝a。原命题为真命题，逆命题为假命题。
练习．写出下列命题的逆命题．
(1)如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0．
2
(2)如果a＞0，那么a＞0． (3)等角的补角相等． (4)对顶角相等．
三、互逆定理
1．概念：如果一个定理的逆命题也是定理（即真命题），那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．
2．说明：
（1）不是所有的定理都有逆定理，如“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这是一个假命题，所以“对顶角相等”没有逆定理．
（2）互逆定理和互逆命题的关系：互逆定理首先是互逆命题，是互逆命题中要求更为严谨的一类，即互逆命题包含互逆定理． 四、互逆定理举例
1．等腰三角形的性质定理与判定定理 性质定理：等腰三角形底角相等．
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，则这个三角形是等腰三角形．
1． 角平分线的性质定理与判定定理
性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等．
判定定理：到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上． 3．线段垂直平分线的性质定理与判定定理
性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点距离相等．
判定定理：到一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
4．勾股定理及其逆定理
勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方．即
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若用a，b表示直角三角形的两条直角边，c表示斜边，则a+b=c．
逆命题与逆定理
