全国中学生物理竞赛真题汇编---光学
1.（19Y5）五、（20分）图预19-5中，三棱镜的顶角?为60?，在三棱镜两侧对称位置上放置焦距均为 f?30.0cm的两个完全相同的凸透镜L1和 L2．若在L1的前焦面上距主光轴下方
y?14.3cm处放一单色点光源S，已知其像S?与
试求该三棱镜的S对该光学系统是左右对称的．折射率．
2.（21Y6）六、（15分）有一种高脚酒杯，如图所示。杯内底面为一凸起的球面，球心在顶点O下方玻璃中的C点，球面的半径R＝，O到杯口平面的距离为。在杯脚底中心处P点紧贴一张画片，P点距O点。这种酒杯未斟酒时，若在杯口处向杯底方向观看，看不出画片上的景物，但如果斟了酒，再在杯口处向杯底方向观看，将看到画片上的景物。已知玻璃的折射率n1＝，酒的折射率n2＝。试通过分析计算与论证解释这一现象。 3．（22Y3）三、(18分)内表面只反射而不吸收光的圆筒内有一半径为尺的黑球，距球心为2R处有一点光源S，球心p和光源s.皆在圆筒轴线上，如图所示．若使点光源向右半边发出的光最后全被黑球吸收，则筒的内半径r最大为多少? 4．（16F2）（25分）两个焦距分别是f1和f2的薄透镜L1和L2，相距为d，被共轴地安置在光具座上。
1.
若要求入射光线和与之对应的出射光线相互平行，
问该入射光线应满足什么条件？ 2. 根据所得结果，分别画出各种可能条件下的光路示意图。 5．（17F2）
如图1所示，在真空中有一个折射率为ｎ（ｎ＞ｎ0，ｎ0为真空的折射率），半径为ｒ的质地均匀的小球，频率为ν的细激光束在真空中沿直线ＢＣ传播，直线BC与小球球心O的距离为ｌ（ｌ＜ｒ），光束于小球体表面的点Ｃ经折射进入小球（小球成为光传播的介质），并于小球表面的点D又经折射进入真空．设激光束的频率在上述两次折射后保持不变．求在两次折射过程中激光束中一个光子对小球作用的平均力的大小．
图1
6.（17F6）、普通光纤是一种可传输光的圆柱形细丝，由具有圆形截面的纤芯Ａ和包层Ｂ组成，Ｂ的折射率小于Ａ的折射率，光纤的端面和圆柱体的轴垂直，由一端面射入的光在很长的光纤中传播时，在纤芯Ａ和包层Ｂ的分界面上发生多次全反射．现在利用普通光纤测量流体F的折射率．实验方法如下：让光纤的一端（出射端）浸在流体F中．令与光纤轴平行的单色平行光束经凸透镜折射后会聚光纤入射端面的中心Ｏ，经端面折射进入光纤，在光纤中传播．由点Ｏ出发的光束为圆锥形，已知其边缘光线和轴的夹角为α0，如图3甲所示．最后光从另一端面出射进入流体Ｆ．在距出射端面ｈ1处放置一垂直于光纤轴的毛玻璃屏Ｄ，在Ｄ上出现一圆形光斑，测出其直径为ｄ1，然后移动光屏Ｄ至距光纤出射端面ｈ２处，再测出圆形光斑的直径ｄ２，如图3乙所示．
图3
1．若已知Ａ和Ｂ的折射率分别为ｎＡ与ｎＢ，求被测流体F的折射率ｎＦ的表达式． 2．若ｎＡ、ｎＢ和α０均为未知量，如何通过进一步的实验以测出ｎＦ的值?
7．(18F1)（22分）有一放在空气中的玻璃棒，折射率n?1.5，中心轴线长L?45cm，一端是半径为R1?10cm的凸球面．
1．要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜（使主光轴上无限远处物成像于主光轴上无限远处的望远系统），取中心轴线为主光轴，玻璃棒另一端应磨成什么样的球面？
2．对于这个玻璃棒，由无限远物点射来的平行入射光柬与玻璃棒的主光轴成小角度?1时，从棒射出的平行光束与主光轴成小角度，求?2/?1（此比值等于此玻璃棒望远系统的视角放大率）． 8．（19F5）（20分）薄凸透镜放在空气中，两侧焦点和透镜中心的距离相等。如果此薄透镜两侧的介质不同，其折射率分别为n1和n2 ，则透镜两侧仍各有一焦点（设为F1和F2），但F1 、F2和透镜中心的距离不相等，其值分别为f1和f2 。现有一薄透镜L ，已知此凸透镜对平行光束起会聚作用，在其左右两侧介质和折射率及焦点的位置如图复19-5所示。
1．试求出此时物距u 、像距v 、焦距f1 、f2四者之间的关系式。
2．若有一傍轴光线射向透镜中心，已知它与透镜主轴的夹角为θ1 ，则与之相应的出射线与主轴的夹角θ2为多大？
3．f1 、f2 、n1 、n2四者之间有何关系？ 9．（20F4）(20分)如图所示，一半径为R、折射率为n的玻璃半球，放在空气中，平表面中央半径为h0的区域被涂黑．一平行光束垂直入射到此平面上，正好覆盖整个表面．Ox为以球心O为原点，与平而垂直的坐标轴．通过计算，求出坐标轴Ox上玻璃半球右边有光线通过的各点（有光线段）和无光线通过的各点（无光线段）的分界点的坐标． 10．（21F4）(20分)目前，大功率半导体激光器的主要结构形式是由许多发光区等距离地排列在一条直线上的长条状，通常称为激光二极管条．但这样的半导体激光器发出的是很多束发散光束，光能分布很不集中，不利于传输和应用．为了解决这个问题，需要根据具体应用的要求，对光束进行必需的变换（或称整形）．如果能把一个半导体激光二极管条发出的光变换成一束很细的平行光束，对半导体激光的传输和应用将是非常有意义的．为此，有人提出了先把多束发散光会聚到一点，再变换为平行光的方案，其基本原理可通过如下所述的简化了的情况来说明．
如图，S1、S2、S3 是等距离（h）地排列在一直线上的三个点光源，各自向垂直于它们的连线的同??S1 一方向发出半顶角为? =arctan?14?的圆锥形光h P ??S2 z 束．请使用三个完全相同的、焦距为f = 、半径为h ??S3 r = h的圆形薄凸透镜，经加工、组装成一个三者在
L 同一平面内的组合透镜，使三束光都能全部投射到
这个组合透镜上，且经透镜折射后的光线能全部会
聚于z轴（以S2为起点，垂直于三个点光源连线，与光束中心线方向相同的射线）上距离
S2为 L = h处的P点．（加工时可对透镜进行外形的改变，但不能改变透镜焦距．） 1．求出组合透镜中每个透镜光心的位置．
2．说明对三个透镜应如何加工和组装，并求出有关数据． 11．（23F6）（23分）有一种被称为直视分光镜的光谱学仪器。所有光学元件均放在一直长圆筒内。筒内有：三个焦距分别为f1、f2和f3的透镜L1,L2,L3，f1?f2?f3；观察屏P，
它是一块带有刻度的玻璃片；由三块形状相同的等腰棱镜构成的 图1
分光元件（如图1所示），棱镜分别用折射率不同的玻璃制成，两侧棱镜的质料相同，中间棱镜则与它们不同，棱镜底面与圆筒轴平行。圆筒的一端有一与圆筒轴垂直的狭缝，它与圆筒轴的交点为S，缝平行于棱镜的底面．当有狭缝的一端对准筒外的光源时，位于圆筒另一端的人眼可观察到屏上的光谱。
已知：当光源是钠光源时，它的黄色谱线（波长为 nm，称为D线）位于圆筒轴与观察屏相交处。制作棱镜所用的玻璃，一种为冕牌玻璃，它对钠D线的折射率nD＝;另一种为火石玻璃，它对钠D线的折射率n?D=。
1.试在图2中绘出圆筒内诸光学元件相对位置的示意图并说出各元件的作用。
2.试论证三块棱镜各应由何种玻璃制成并求出三棱镜的顶角?的数值。
图2
12．（24F6）（25分）图1所示为杨氏双缝干涉实验的示意图，取纸面为yz平面。y、z轴的方向如图所示。线光源S通过z轴，双缝S1、S2对称分布在z轴两侧，它们以及屏P都垂直于纸面。双缝间的距离为d，光源S到双缝的距离为l，双缝到屏的距离为D，d??D，d??l。
图1
1.从z轴上的线光源S出发经S1、S2不同路径到P0点的光程差为零，相干的结果产生一亮纹，称为零级亮纹。为了研究有一定宽度的扩展光源对于干涉条纹清晰度的影响，我们先研究位于轴外的线光源S′形成的另一套干涉条纹，S′位于垂直于z轴的方向上且与S平
??行，两者相距?s，则由线光源S′出发分别经S1、S2产生的零级亮纹P0，P0与P0的距离
?y?___________________________________
2.当光源宽度为?的扩展光源时，可将扩展光源看作由一系列连续的、彼此独立的、非相干的线光源组成。这样，各线光源对应的干涉条纹将彼此错开，在屏上看到的将是这些干涉条纹的光强相加的结果，干涉条纹图像将趋于模糊，条纹的清晰度下降。假设扩展光源各处发出的光强相同、波长皆为?。当?增大导致零级亮纹的亮暗将完全不可分辨，则此时光源的宽度??______________________________
3.在天文观测中，可用上述干涉原理来测量星体的微小角直径。遥远星体上每一点发出的光到达地球处都可视为平行光，从星体相对的两边缘点发来的两组平行光之间的夹角?就是星体的角直径。遥远星体的角直径很小，为测量如些微小的角直径，迈克尔逊设计了测量干涉仪，其装置简化为图2所示。M1、M2、M3、M4是四个平面反射镜，它们两两平行，对称放置，与入射光（a、 a′）方向成45°角。S1和S2是一对小孔，它们之间的距离是d。M1和M2可以同步对称调节来改变其中心间的距离h。双孔屏到观察屏之间的距离是D。a、 a′和b、 b′分别是从星体上相对着的两边缘点发来的平行光束。设光线a、 a′垂直双孔屏和像屏，星光的波长是?，试导出星体上角直径?的计算式。
注：将星体作圆形扩展光源处理时，研究扩展光源的线度对于干涉条纹图像清晰度的影响会遇到数学困难，为简化讨论，本题拟将扩展光源作宽度为?的矩形光源处理。
图2
13．．（21J1）（20分）有一光光导纤维，光芯折射率n= 的透明度极好的介质，其截面半径为r ；光
o
芯外面包层的折射率n =。有一半导体激光器S，位于光纤轴线的延长上，发出半角宽为30的光束。为便于使此光束全部进入光纤，在光纤端面处烧结了一个其材料与光芯相同的、半径为 R 的球冠 QAQ ＇，端面附近的结构如图所示（包层未画出），S可看作点光源，光纤放在空气中，空气的折射率 n0 按 计算。
1、若要半导体激光器发出的光能够全部射到球冠上，则光源 S 离 A 的距离 x 应满足什么条件？
oo
2、如果 R=, 光源S与A 的距离为R，入射与轴的夹角用α表示，则α角分别为α1 =30、α2 =25
o
和α3＝20的三根光线能否经过全反射在光纤中传播？
14．（22J1）如图所示，一细光束由空气中射到一透明平行平板的上表面，经折射后由平板下表面射出．此细光束由两种不同频率的单色光①和②构成．用i表示入射角，用n1和n2分别表示平板对①和②的折射率，且已知n1> n2.
1．试分析讨论哪种单色光在穿过平板的过程中所用的时间较短． 2．若n1=，n2=可做出什么判断?若n1=， n2=，又可做出什么判断?
15．（24J6）如图所示，一半径为R 、折射率为ng的透明球体置于折射率n0 =1的空气中，其球心位于图中光轴的O处，左、右球面与光轴的交点为O1与O2 ．球体右半球面为一球面反射镜，组成球形反射器．光轴上O1点左侧有一发光物点P ，P点到球面顶点O1的距离为s ．由P点发出
的光线满足傍轴条件，不考虑在折射面上发生的反射．
P s O1 1．问发光物点P经此反射器，最后的像点位于何处？
2．当P点沿光轴以大小为v的速度由左向右匀速运动时，试问最后的像点将以怎样的速度运动？并说明当球体的折射率ng 取何值时像点亦做匀速运动．
16．（25J5）（15分）折射率为n=、半径为R的透明半圆柱体放在空气中，其垂直于柱体轴线的横截面如图所示，图中O点为横截面与轴线的交点，光仅允许从半圆柱体的平面AB进入，一束足够宽的平行单色光沿垂直于圆柱轴的方向以入射角i射至AB整个平面上，其中有一部分入射光束能通过半圆柱体从圆柱面射出，这部分光束在入射到AB面上时沿y轴方向的长度用d表示。本题不考虑在光线在透明圆柱体内经一次或多次反射后再射出柱体的复杂情形。
1. 当平行入射光的入射角i从0?到90?变化时，试求d的最大值dmax和最小值dmin.
2. 在如图所示的平面内，求出射光束与柱面相交的圆弧对O点张角? 与入射角i的关系，并求在掠入射时上述圆弧的位置。 17．（27J8）（10分）空心激光束是一种在传播方向上中心光强为零的圆筒形光束。由于这一特征，它可以把某些微小粒子约束在激光束的中心部位，作为激光导管，激光镊子、光学扳手等，实现对纳米粒子、生物细胞等微小粒子的精确操控。空心激光技术目前在生物学、激光加工、原子冷却等方面得到了广泛的应用，正逐渐成为一门新兴的学科分支。 产生空心激光束的基本做法是利用光学系统将一束实心的圆柱形激光转换成为一束空心的激光。给定如下光学器件：焦距为f的凸透镜，圆锥角为45?的锥面反射镜，半径为R的球面镜（中间有圆孔），如图：
利用上述光学器件设计一光学系统，使得一束很细的实心圆柱入射激光转化成一束空心的出射激光，且空腔为圆柱形，半径为r。请回答如下问题： 1．画出该光学系统的光路图。
2．求该光学系统中锥面镜顶点到球面镜球心的距离x。
18．（28J5）（15分）如图，一个三棱镜ABC的顶角?小于90o。假设光线在纸面内以任意入射角入射到AB面上的D点，经一次折射后，有入射到AC面上，且都能在AC面上发生全反射，已知光线在AC面上发生全反射的临界角为?(??45o)，AC边足够长。试在下列两种情形下分别求三棱镜顶角?的取值范围： 1.如果光线仅从AB面上法线的下方入射； 2.如果光线仅从AB面上法线的上方入射。 19．（29J7）．
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