最大公因数与最小公倍数应用（一）
一、知识要点：
1、性质1：如果a、b两数的最大公因数为d，则a=md,b=nd,并且（m,n）=1。 例如：（24,54）=6,24=4×6,54=9×6，（4,9）=1。
2、性质2：两个数的最小公倍数与最大公因数的乘积等于这两个数的乘积。 a与b的最小公倍数[a,b]是a与b的所有倍数的最大公因数，并且a×b=[a,b]×（a,b）。
例如：（18，12）= ，[18，12]= （18，12）×[18，12]= 3、两个数的公因数一定是这两个数的最大公因数的因数。 3、辗转相除法 二、热点考题：
例1 两个自然数的最大公因数是6，最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。
练一练：甲数是36，甲、乙两数的最大公因数是4，最小公倍数是288，求乙数。
例2 两个自然数的最大公因数是7，最小公倍数是210。这两个自然数的和是77，求这两个自然数。
分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公因数是1，最小公倍数是30。这两个自然数的和是11，求这两个自然数。”
例3 已知a与b，a与c的最大公因数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。
分析与解：因为12，15都是a的因数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12，15]=60的倍数。再由[a，b，c]=120知， a只能是60或120。[a，c]=15，说明c没有质因数2，又因为[a，b，c]=120=23×3×5，所以c=15。
练一练：已知两数的最大公因数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少
例4已知两个自然数的和是50，它们的最大公因数是5，求这两个自然数。
例5 已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。
习 题 四
1．已知某数与24的最大公因数为4，最小公倍数为168，求此数。
2．已知两个自然数的最大公因数为4，最小公倍数为120，求这两个数。
3．已知两个自然数的和为165，它们的最大公因数为15，求这两个数。
4．已知两个自然数的差为48，它们的最小公倍数为60，求这两个数。
5．已知两个自然数的差为30，它们的最小公倍数与最大公因数的差为450，求这两个自然数。
6．已知两个自然数的和为147，它们的最大公因数与最小公倍数的乘积为432，求这两个自然数。
7、五年一班去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6个，如果减少一条船，正好每船坐9人，这个班有多少人
8、一个数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，此数最小是几
9、已知A与B的最大公因数为6，最小公倍数为84，且A＝42，求B。
10、已知A和B的最大公因数是31，且A×B＝5766，求A和B。
11、有一盘水果，3个3个地数余2个，4个4个数余3，5个5个数余4个，问这个盘子里最少有多少个水果
家 庭 练 习
1.拖拉机前轮直径64厘米，后轮直径96厘米，拖拉机开动后，前轮至少转多少圈，才能使前、后轮同时着地的两点重新同时着地
2.现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班每个班至少分到了三种水果各多少千克
3、一个数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，此数最小是几
4、将72和120的乘积写成它们的最大公因数和最最小公倍数的乘积的形式。
5、两个自然数的最大公因数是12，最小公倍数是72。满足条件的自然数有哪几组
例1 用自然数a去除498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少
分析与解：因为498，450，414除以a所得的余数相同，所以它们两两之差的公因数应能被a整除。498-450=48，450-414=36，498-414=84。 所求数是（48，36，84）=12。
例2 现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公因数中，最大的可以是多少
分析与解：只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公因数。只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。三个数的和是1111，它们的公因数一定是1111 的因数。因为1111=101×11，它的因数只能是1，11，101和1111，由于三个自然数
的和是1111，所以三个自然数都小于 1111，1111不可能是三个自然数的公因数，而101是可能的，比如取三个数为101，101和909。所以所求数是101。
练习：
1、在1000到2000之间，能同时被6、8、10这三个自然数整除的自然数一共有几个
2、三个连续偶数，它们分别是12、14、16的倍数，比它们大的这样三个偶数最小各是多少
3、四个连续自然数，它们分别是6、7、8、9的倍数，比它们大的这样四个自然数最小各是多少
4、甲、乙、丙三人沿600米的环形跑道从同一地点出发同时同向跑步，甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米。至少经过多少时间三人又同时从出发点出发
5、两数的乘积是9000，它们的最大公因数是15，这个两数各是多少
6、甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会
最大公因数与最小公倍数应用(较难含有部分的讲解)
