第35届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题(2018)
一、(35分)如图,半径为 、质量为 的半球静置于光滑水平桌面上,在半球顶点上有一质量为 、半径为 的匀质小球.某时刻,小球受到微小的扰动后有静止开始沿半球表面运动.在运动过程中,小球相对于半球的位置由角位置 描述, 为两球心的连线于竖直方向之间的夹角.已知小球绕
m
r M R
θ 其对称轴的转动惯量为 ,小球与半球间的动摩擦因数为 ,假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力.重力加速度大小为 .
(1)小球开始运动后在一段时间内做纯滚动,求在此过程中,当小球的角位置为 时,半球运动的速度大小 和加速度大小 ;
(2)当小球纯滚动到角位置 时开始相对于半球滑动,求 满足的方程(用半球速度大小 和加速度大小 以及题给条件表示);
(3)当小球刚好运动到角位置 时脱离半球,求此时小球质心相对于半球运动速度的大小 . 二、(35分)平行板电容器极板1和2的面积均为
1 ,水平固定放置,它们之间的距离为 ,接入如图K 所示的电路中,电源的电动势记为 .不带电的导体薄平板3(厚度忽略不计)的质量为 、尺寸与3 U 电容器极板相同.平板3平放在极板2的正上方,2 且与极板2有良好的电接触.整个系统置于真空室内,真空介电常量为 .闭合电键 后,平板3与
1和2相继碰撞,上下往复运动.假设导体板间的电场均可视为匀强电场;导线电阻和电源内阻足够小,充放电时间可忽略不计;平板3与极板1或2碰撞后立即在极短时间内达到静电平衡;所有碰撞都是完全非弹性的.重力加速度大小为 . (1)电源电动势 至少为多大?
(2)求平板3运动的周期(用 和题给条件表示).
已知积分公式 ,其中 , 为积分常数.
三、(35分)如图,质量线密度为 、不可伸长的软细绳跨过一盘状定滑轮,定滑轮的
半径为 ,轴离地面高度为 .系统原处于静止状态.在 时,滑轮开始以恒定角速度 逆时针转动,绳子在滑轮带动下开始运动,绳子与滑轮间的动摩擦因数为 .滑轮两侧的绳子在运动过程中始终可视为沿竖直方向,绳的两端在运动过程中均没有离开地面,地面上的绳子可视为集中在一点.已知重力加速度为 .绳子在与滑轮左、右侧相切处的张力分别记为 、 (均非已知量). (1)分别列出在绳子速度达到最大值之前,滑轮两侧绳子的竖直部分及滑轮上任意一小段绳子的运动所满足的动力学方程;
(2)求绳子可达到的最大速度的大小. (可以参考的数学关系式:
,
ω O R L 地面 ,
, 与 为积分常数)
四、(35分)如图,一张紧的弦沿 轴水平放y 置,长度为 .弦的左端位于坐标原点.弦可通过其左、右与振源连接,使弦产生沿 方向的横向受迫振动,振动传播的速度为 . O P1 P2 x (1)固定弦的右端 ,将其左端与 与振源
连接,稳定时,左端 的振动表达式为 ,其中 为振幅, 为圆频率.
(i)已知弦上横波的振幅在传播方向上有衰减,衰减常量为 ,求弦上各处振动的振幅;(已知:在无限长弦上沿 轴正方向传播的振幅逐渐衰减的横波表达式为
,其中 和 分别为 处振动的振幅和初相位)
(ii)忽略波的振幅在传播方向上的衰减,求弦上驻波的表达式,并确定波腹和波节处的 坐标. (2)将 、 都与振源连接, 、 处的振动表达式分别为 、 ,其中 为常量.忽略波的振幅在传播方向上的衰减,分别计算 和 情形下线上各处振动的表达式以及共振时的圆频率 应满足的条件.
五、(35分)质量为 的绝热薄壁容器处于远离其他星体的太空(可视为真空)中.在
某惯性系中观察,该容器的初始速度为零.容器的容积为 ,容器中充有某种单原子分子理想气体,气体的初始分子数、分子质量分别为 、 ,气体的初始温度为 . 时容器壁上出现面积为 的一个小孔,由于小孔漏气导致容器开始运动.假设小孔较小,容器中的气体在泄露过程中始终处于平衡态.已知气体分子速度沿 方向的分量 的麦克斯韦分布函数为
( 为玻尔兹曼常量).在
泄露过程中,求:
(1)当气体的分子数密度为 、温度为 时在单位时间内从小孔单位面积泄出的气体分子数;
(2)当容器中气体温度为 时,从小孔泄出的气体分子相对于容器的平均动能; (3) 时刻容器中气体的温度;
(4) 时刻容器运动速度的大小(假设 ).
已知积分公式: , , .
六、(35分)介质的折射率 可以大于0,也可n1>0 n1>0 以小于0. 小于0的介质称为负折射介质.光n2>0 n2<0 在负折射介质内传播,其光程为负值(相位随传播距离的变化规律于在折射率为正的介
图a 图b 质中的相反).如果定义折射角于入射角在界
M 面法线同侧时折射角为负,可以证明折射定
θ1 律在界面两边有负折射介质时仍然成立,即θ2 R α2 ,其中的 和 均可以大β α1 x O y C 于0或小于0, 为折射角.
n1 n2 (1)设想一束平行光入射到界面上,根据惠更
图c 斯原理,画出图 和图 所示情况下进入介质
2的光线及对应的子波的示意图,并依此证明n2 d 序号 折射定律成立; 1 1.5 0.35R (2)如图 所示,半径为 的球面将空间隔开为两
2 1.5 0.85R 个区域,其折射率分别记为 、
3 -1.5 0.35R , 点是球面的球心,取某一光轴与球
4 -1.5 0.85R 面的交点 为原点.图中已画出此情形下一段入
参数表 射光线和折射光线, 和 分别为入射光线、折射
光线与光轴的交点坐标.记物距为 ,像距为 .在傍轴近似下导出球面的成像公式和横向放大率公式.请明确指出最后结果中各个量的正负号约定;
(3)介质1为空气,即 , 可大于0也可小于0.在球面(参考图 )前放置一普通薄凸透镜,透镜的光轴通过球心 ,焦点位于负折射介质区域内,透镜的焦距 ,透镜中心 点与 点的距离为 .一束沿光轴传播的平行光入射到薄透镜.分别就表中四组参数计算入射光在光轴上会聚点离 点的距离,并画出序号4
第35届全国中学生物理竞赛决赛试题
